Kuvvet Yöntemi · Soru 2 / 7Tüm sorular

Kuvvet Yöntemi Soru Çözümüİki açıklıklı sürekli kiriş

Soru. Şekildeki iki açıklıklı kirişte A sabit, B ve C hareketli mesnettir. Kirişin tamamında 12 kN/m yayılı yük vardır. EI sabittir. Kuvvet yöntemiyle mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

4 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: A sabit, B ve C hareketli mesnet, tamamında 12 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Kiriş, yük ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 13.50 kN
$V_{B}$: 77.50 kN
$V_{C}$: 29.00 kN

Çözüm

1Fazla bilinmeyenler ve temel (izostatik) sistem

Sistem $1$ ° dereceden hiperstatik; 1 fazla bilinmeyen seçilip kaldırılır, geriye izostatik temel sistem kalır.

Basit kiriş temel sistem: A ve C mesnetli; ara mesnet(ler) kaldırılır.

Fazla bilinmeyenler: $X_{1} = V_{B}$

Temel sistem — serbest bırakılan bileşenler X okları

Tek bilinmeyen yeter: B kalkınca A ve C üzerinde 10 m'lik basit kiriş kalır.

2M₀ diyagramı (temel sistem, gerçek yükler)

M_{0,\,A\text{–}B}(\xi) = 60\xi - 6\xi^2

M_{0,\,B\text{–}C}(\xi) = 144 + 12\xi - 6\xi^2

İki satır aslında tek parabol: $60x - 6x^2$ . İkinci satır $x = \xi + 4$ ile aynı ifadedir. Bölünmesinin nedeni bir sonraki adımdaki $m_1$ .

3Birim yükleme (sanal) diyagramları

Her fazla bilinmeyenin birim değeri temel sisteme ayrı ayrı uygulanır; oluşan $m_i$ moment diyagramları:

m_{1}

—

X_{1}=1

(B mesnedinde birim yük)

m_{1,\,A\text{–}B}(\xi) = -0.60\xi

m_{1,\,B\text{–}C}(\xi) = -2.40 + 0.40\xi

$m_1$ B'de kırılır, bu yüzden integral iki bölgede alınır. B'deki değer: 4 × 6 / 10 = 2.4.

4Esneklik katsayıları ve uyumluluk

Sanal iş ile $\delta_{ij}=\int\frac{m_i m_j}{EI}dx$ , $\delta_{i0}=\int\frac{M_0 m_i}{EI}dx$ (üniform EI'da 1/EI sadeleşir): EI = 30 000 kNm²

\delta_{11} = \dfrac{19.20}{EI}

\delta_{10} = \dfrac{-1488}{EI}

Uyumluluk $\sum_j \delta_{ij}X_j + \delta_{i0}=0$ :

19.20\,X_{1} = 1488

X_{1} = V_{B} = 77.50\ \text{kN}

$\delta_{11}$ 'i elle bul: yüksekliği 2.4 olan iki üçgen, 2.4² × 10 / 3 = 19.2.

5Mesnet tepkileri (süperpozisyon) ve doğrulama

V_{A} = 13.50\ \text{kN}

V_{B} = 77.50\ \text{kN}

V_{C} = 29\ \text{kN}

Mesnet momentleri, tepkilerden kesim yapılarak (sarkma +):

M_{B} = -42\ \text{kNm}

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	13.50	0
B	0	77.50	0
C	0	29.00	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀600.00 (tepkiler) − 600.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

✓ Tepkiler matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maks fark 6.6 × 10⁻⁹ kN / kNm).

Üç Moment ile sağla: $20\,M_B = -12\,(4^3 + 6^3)/4$ , yani $M_B = -42$ . A'dan yazınca da aynı: 13.5 × 4 − 12 × 4 × 2.

6Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

İki açıklıklı sürekli kirişin eğilme momenti diyagramı: B mesnedinde −42.00, açıklıkta en büyük 35.04 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

İki açıklıklı sürekli kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 13.50, B'nin sağında 43.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 13.50 kN
$V_{B}$: 77.50 kN
$V_{C}$: 29.00 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

$m_1$ fonksiyonu tek bir ifadeyle yazılamaz. Fonksiyon B kesitinde kırıldığı için her açıklık ayrı bölge olarak alınır.
$\delta_{10}$ hesabında ordinatın yanlış diyagramdan okunması sonucu doğrudan bozar. Açık erişimli bir ders kitabında da bu nedenle hatalı çıkmış bir sonuç vardır.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 13.5 + 77.5 + 29 = 12 × 10.

Aynı soru, başka yöntem

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.