Kuvvet Yöntemi · Soru 4 / 7Tüm sorular

Kuvvet Yöntemi Soru ÇözümüKonsollu kiriş, negatif tepki

Soru. Şekildeki kirişte A ucu ankastre, B ve C hareketli mesnet, D serbest uçtur. B–C açıklığında 16 kN/m yayılı yük, D ucunda 12 kN tekil yük vardır. EI sabittir. Kuvvet yöntemiyle mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

A ucu ankastre, B ve C hareketli mesnetli, 2 metre konsollu kiriş: B–C arasında 16 kN/m yayılı yük, D ucunda 12 kN tekil yük — Şekil 1. Kiriş, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: −11.08 kN
$M_{A}$: −18.46 kNm
$V_{B}$: 61.23 kN
$V_{C}$: 57.85 kN

Çözüm

1Fazla bilinmeyenler ve temel (izostatik) sistem

Sistem $2$ ° dereceden hiperstatik; 2 fazla bilinmeyen seçilip kaldırılır, geriye izostatik temel sistem kalır.

Konsol temel sistem: A ankastre korunur, diğer mesnetler kaldırılır.

Fazla bilinmeyenler: $X_{1} = V_{B}$ $X_{2} = V_{C}$

Temel sistem — serbest bırakılan bileşenler X okları

B ve C kalkınca geriye A'dan ankastre bir konsol kalır. Konsolda moment, serbest uçtan gelerek kolayca yazılır.

2M₀ diyagramı (temel sistem, gerçek yükler)

M_{0,\,A\text{–}B}(\xi) = -924 + 108\xi

M_{0,\,B\text{–}C}(\xi) = -384 + 108\xi - 8\xi^2

M_{0,\,C\text{–}D}(\xi) = -24 + 12\xi

A'daki −924 kNm'yi elle kontrol et: 96 kN × 8 m + 12 kN × 13 m.

3Birim yükleme (sanal) diyagramları

Her fazla bilinmeyenin birim değeri temel sisteme ayrı ayrı uygulanır; oluşan $m_i$ moment diyagramları:

m_{1}

—

X_{1}=1

(B mesnedinde birim yük)

m_{1,\,A\text{–}B}(\xi) = 5 - \xi

m_{1,\,B\text{–}C}(\xi) = 0

m_{1,\,C\text{–}D}(\xi) = 0

m_{2}

—

X_{2}=1

(C mesnedinde birim yük)

m_{2,\,A\text{–}B}(\xi) = 11 - \xi

m_{2,\,B\text{–}C}(\xi) = 6 - \xi

m_{2,\,C\text{–}D}(\xi) = 0

4Esneklik katsayıları ve uyumluluk

Sanal iş ile $\delta_{ij}=\int\frac{m_i m_j}{EI}dx$ , $\delta_{i0}=\int\frac{M_0 m_i}{EI}dx$ (üniform EI'da 1/EI sadeleşir): EI = 30 000 kNm²

\delta_{11} = \dfrac{41.67}{EI}

\delta_{12} = \dfrac{116.67}{EI}

\delta_{22} = \dfrac{443.67}{EI}

\delta_{10} = \dfrac{-9300}{EI}

\delta_{20} = \dfrac{-32\,808}{EI}

Uyumluluk $\sum_j \delta_{ij}X_j + \delta_{i0}=0$ :

41.67\,X_{1} + 116.67\,X_{2} = 9300

116.67\,X_{1} + 443.67\,X_{2} = 32\,808

X_{1} = V_{B} = 61.23\ \text{kN}

X_{2} = V_{C} = 57.85\ \text{kN}

$\delta_{11}$ 'i elle bul: $m_1$ tabanı ve yüksekliği 5 olan bir üçgen, $\int m_1^2\,dx = 5 \cdot 5^2 / 3 = 41.67$ .

5Mesnet tepkileri (süperpozisyon) ve doğrulama

V_{A} = -11.08\ \text{kN},\quad M_{A} = -18.46\ \text{kNm}

V_{B} = 61.23\ \text{kN}

V_{C} = 57.85\ \text{kN}

Mesnet momentleri, tepkilerden kesim yapılarak (sarkma +):

M_{B} = -36.92\ \text{kNm}

M_{C} = -24\ \text{kNm}

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	V (kN)	M (kNm)
A	-11.08	-18.46
B	61.23	0
C	57.85	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy108.00 (tepkiler) − 108.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀924.00 (tepkiler) − 924.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

✓ Tepkiler matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maks fark 1.6 × 10⁻⁸ kN / kNm).

$V_A$ eksi çıktı, yani A mesnedi kirişi aşağı çekiyor. Hata değil: B–C'deki yük, B üzerinden A–B açıklığını kaldırıyor.

6Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

Konsollu kirişin eğilme momenti diyagramı: A'da 18.46, B'de −36.92, B–C açıklığında en büyük 41.68, C'de −24.00 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Konsollu kirişin kesme kuvveti diyagramı: A–B arasında −11.08, B'nin sağında 50.15, C'nin sağında 12.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: −11.08 kN
$M_{A}$: −18.46 kNm
$V_{B}$: 61.23 kN
$V_{C}$: 57.85 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

$V_A$ 'nın negatif çıkması çoğu zaman işlem hatası sanılır. Bu yüklemede A mesnedi kirişi aşağı çeker ve negatif değer doğrudur.
Konsol ucundaki 12 kN'luk yük hesaba katılmalıdır. C mesnedindeki −24 kNm'lik moment bu yükten gelir.
$\delta_{10}$ ve $\delta_{20}$ hesabında ordinatın yanlış diyagramdan okunması sonucu doğrudan bozar. Açık erişimli bir ders kitabında da bu nedenle hatalı çıkmış bir sonuç vardır.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.