Kuvvet Yöntemi · Soru 6 / 7Tüm sorular

Kuvvet Yöntemi Soru ÇözümüKuvvet yöntemi portal çerçeve, farklı atalet

Soru. Şekildeki portal çerçevede A ankastre, D sabit mesnettir. Kolonlar 4 m ve I, B–C kirişi 8 m ve 2I'dır. Kirişte 15 kN/m yayılı yük vardır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Kuvvet yöntemiyle mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Portal çerçeve: A ankastre, D sabit mesnet, 4 metre kolonlar I, 8 metre kiriş 2I, kirişte 15 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: 13.64 kN
$V_{A}$: 58.64 kN
$M_{A}$: −10.91 kNm
$H_{D}$: −13.64 kN
$V_{D}$: 61.36 kN

Çözüm

1Fazla bilinmeyenler ve temel (izostatik) sistem

Sistem $2$ ° dereceden hiperstatik; 2 mesnet bileşeni serbest bırakılır, geriye izostatik temel sistem kalır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Temel (izostatik) sistem: D mesnedinin yatay tepkisi; D mesnedinin düşey tepkisi kaldırıldı; A mesnet(ler)i korunur.

Fazla bilinmeyenler: $X_{1} = H_{D}$ $X_{2} = V_{D}$

Elemanlarda EI farklı — integraller 1/EI ağırlıklı (EI₀ referans): $EI_{A\text{–}B} = EI_0$ $EI_{B\text{–}C} = 2EI_0$ $EI_{C\text{–}D} = EI_0$

Temel sistem — serbest bırakılan bileşenler X okları

D kalkınca A'dan ankastre, B–C–D ucu serbest bir konsol kalır. D'nin iki tepkisi iki bilinmeyen eder.

2M₀ — temel sistem, gerçek yükler

Temel sistem izostatik olduğundan M₀ statikçe çizilir (CCW +). Eskizde eğri elemana dik ölçülür; uç ve ekstremum değerleri kNm.

M₀ diyagramı — temel sistem üzerinde gerçek yükler

Eleman	$M^{0}_{i}$ (kNm)	$M^{0}_{j}$ (kNm)
A–B	-480.00	480.00
B–C	-480.00	0
C–D	0	0

3Birim yükleme durumları

Her fazla bilinmeyenin birim değeri temel sisteme ayrı ayrı uygulanır ( $m_i$ uç momentleri):

m_{1}

—

X_{1}=1

(D mesnedinin yatay tepkisi)

m₁ diyagramı — temel sistemde yalnız birim etki

Eleman	$m^{1}_{i}$ (kNm)	$m^{1}_{j}$ (kNm)
A–B	0	-4.00
B–C	4.00	-4.00
C–D	4.00	0

m_{2}

—

X_{2}=1

(D mesnedinin düşey tepkisi)

m₂ diyagramı — temel sistemde yalnız birim etki

Eleman	$m^{2}_{i}$ (kNm)	$m^{2}_{j}$ (kNm)
A–B	8.00	-8.00
B–C	8.00	0
C–D	0	0

4Esneklik katsayıları ve uyumluluk

Sanal iş, eleman eksenleri boyunca toplanır: $\delta_{ij}=\sum_{el}\int \frac{m_i m_j}{EI}\,ds$ , $\delta_{i0}=\sum_{el}\int \frac{M_0 m_i}{EI}\,ds$ :

\delta_{11} = \dfrac{106.67}{EI_0}

\delta_{12} = \dfrac{128}{EI_0}

\delta_{22} = \dfrac{341.33}{EI_0}

\delta_{10} = \dfrac{-6400}{EI_0}

\delta_{20} = \dfrac{-19\,200.0}{EI_0}

Uyumluluk $\sum_j \delta_{ij}X_j + \delta_{i0}=0$ :

106.67\,X_{1} + 128\,X_{2} = 6400

128\,X_{1} + 341.33\,X_{2} = 19\,200.0

X_{1} = H_{D} = -13.64\ \text{kN}

X_{2} = V_{D} = 61.36\ \text{kN}

$\delta_{11}$ 'i elle bul: kolonlar 4³/3 + 4³/3, kiriş 4² × 8 / 2. Kirişin payı 2'ye bölünür, çünkü kiriş 2I: 21.33 + 21.33 + 64 = 106.67.

5Sonuç: M diyagramı, tepkiler ve doğrulama

Süperpozisyon: $M = M_0 + \sum_i X_i\,m_i$ — diyagram artık gerçek (hiperstatik) sistemin cevabıdır.

M_{AB} = 10.91\ \text{kNm}

M_{BA} = 43.64\ \text{kNm}

M_{BC} = -43.64\ \text{kNm}

M_{CB} = 54.55\ \text{kNm}

M_{CD} = -54.55\ \text{kNm}

M_{DC} = 0\ \text{kNm}

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	13.64	58.64	-10.91
D	-13.64	61.36	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀480.00 (tepkiler) − 480.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

✓ Tepkiler, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maks fark 6.7 × 10⁻⁷ kN / kNm).

$X_1$ eksi çıktı: D'nin yatay tepkisi seçilen yönün tersine, çerçeveyi içeri itiyor. Yatay denge: A'da aynı büyüklük.

6Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

Portal çerçevenin eğilme momenti diyagramı: A'da 10.91, B'de 43.64, C'de 54.55, kirişte en büyük 70.97 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Portal çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: kiriş B ucunda 58.64, C ucunda 61.36, kolonlarda 13.64 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: 13.64 kN
$V_{A}$: 58.64 kN
$M_{A}$: −10.91 kNm
$H_{D}$: −13.64 kN
$V_{D}$: 61.36 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Atalet momentleri farklı olduğunda kirişe ait bütün integraller I oranına bölünür. Bu bölme yapılmazsa sayılar makul görünse de sonuç yanlış çıkar.
$\delta_{12}$ ve $\delta_{10}$ hesabında ordinatın yanlış diyagramdan okunması sonucu doğrudan bozar. Açık erişimli bir ders kitabında da bu nedenle hatalı çıkmış bir sonuç vardır.
Aritmetik hatalar düşey denge ile kolayca yakalanır: 58.64 + 61.36 = 15 × 8.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.