Kuvvet Yöntemi · Soru 3 / 7Tüm sorular

Kuvvet Yöntemi Soru ÇözümüKuvvet yöntemi çerçeve soru çözümü: L çerçeve

Soru. Şekildeki çerçevede A hareketli mesnet, C ankastredir. A–B kolonu 4 m, B–C kirişi 6 m'dir. Kolonda soldan sağa 6 kN/m yatay yayılı yük vardır. EI sabittir, eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Kuvvet yöntemiyle mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

L çerçeve: A hareketli mesnet, C ankastre, 4 metre kolonda 6 kN/m yatay yayılı yük, 6 metre kiriş — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 12.00 kN
$H_{C}$: −24.00 kN
$V_{C}$: −12.00 kN
$M_{C}$: 24.00 kNm

Çözüm

1Fazla bilinmeyenler ve temel (izostatik) sistem

Sistem $1$ ° dereceden hiperstatik; 1 mesnet bileşeni serbest bırakılır, geriye izostatik temel sistem kalır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Temel (izostatik) sistem: A mesnedinin düşey tepkisi kaldırıldı; C mesnet(ler)i korunur.

Fazla bilinmeyenler: $X_{1} = V_{A}$

Temel sistem — serbest bırakılan bileşenler X okları

Fazla bilinmeyen A'nın düşey tepkisi. Onu kaldırınca C'den ankastre bir konsol kalır.

2M₀ — temel sistem, gerçek yükler

Temel sistem izostatik olduğundan M₀ statikçe çizilir (CCW +). Eskizde eğri elemana dik ölçülür; uç ve ekstremum değerleri kNm.

M₀ diyagramı — temel sistem üzerinde gerçek yükler

Eleman	$M^{0}_{i}$ (kNm)	$M^{0}_{j}$ (kNm)
A–B	0	48.00
B–C	-48.00	48.00

B'deki 48'i elle kontrol et: 6 × 4 × 2. Yatay yükün momenti kolonda kalmaz, B'den kirişe aynen geçer.

3Birim yükleme durumları

Her fazla bilinmeyenin birim değeri temel sisteme ayrı ayrı uygulanır ( $m_i$ uç momentleri):

m_{1}

—

X_{1}=1

(A mesnedinin düşey tepkisi)

m₁ diyagramı — temel sistemde yalnız birim etki

Eleman	$m^{1}_{i}$ (kNm)	$m^{1}_{j}$ (kNm)
A–B	0	0
B–C	0	-6.00

4Esneklik katsayıları ve uyumluluk

Sanal iş, eleman eksenleri boyunca toplanır: $\delta_{ij}=\sum_{el}\int \frac{m_i m_j}{EI}\,ds$ , $\delta_{i0}=\sum_{el}\int \frac{M_0 m_i}{EI}\,ds$ :

\delta_{11} = \dfrac{72}{EI}

\delta_{10} = \dfrac{-864}{EI}

Uyumluluk $\sum_j \delta_{ij}X_j + \delta_{i0}=0$ :

72\,X_{1} = 864

X_{1} = V_{A} = 12\ \text{kN}

$m_1$ kolonda sıfır, bu yüzden kolonun $M_0$ 'ı integrale girmez. Yalnız kiriş: $\delta_{11} = 6^3/3 = 72$ , $\delta_{10} = -48 \cdot 6^2/2 = -864$ .

5Sonuç: M diyagramı, tepkiler ve doğrulama

Süperpozisyon: $M = M_0 + \sum_i X_i\,m_i$ — diyagram artık gerçek (hiperstatik) sistemin cevabıdır.

M_{AB} = 0\ \text{kNm}

M_{BA} = 48\ \text{kNm}

M_{BC} = -48\ \text{kNm}

M_{CB} = -24\ \text{kNm}

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	12.00	0
C	-24.00	-12.00	24.00

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx-24.00 (tepkiler) + 24.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀48.00 (tepkiler) − 48.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

✓ Tepkiler, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maks fark 4.5 × 10⁻⁷ kN / kNm).

C'nin düşey tepkisi eksi çıkar, yani C kirişi aşağı çeker. Çerçevede düşey yük yok, $V_A$ ile $V_C$ birbirini dengeler.

6Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

L çerçevenin eğilme momenti diyagramı: B köşesinde 48.00, C ucunda 24.00 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

L çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: A–B kolonunun alt ucunda 0.00, B–C kirişinde 12.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 12.00 kN
$H_{C}$: −24.00 kN
$V_{C}$: −12.00 kN
$M_{C}$: 24.00 kNm

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Kolondaki yatay yükün oluşturduğu moment B köşesinden kirişe aynı büyüklükle geçer ve kirişte de hesaba katılır.
Düşey birim yük kolon ekseni doğrultusunda etkidiği için kolonda moment oluşturmaz. Bu nedenle $m_1$ kolonda sıfır alınır.
Yatay denge de kontrol edilmelidir. C mesnedinin yatay tepkisi kolondaki yükün tamamını karşılar: 6 × 4 = 24 kN.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.