Kuvvet Yöntemi · Soru 7 / 7Tüm sorular

Kuvvet Yöntemi Soru ÇözümüBeşik çatı çerçeve kuvvet yöntemi

Soru. Şekildeki beşik çatılı çerçevede A ve E sabit mesnettir. Kolonlar 4 m, sırt kolon başlarından 2 m yukarıda, açıklık 8 m'dir. Eğik çubuklarda çubuk boyu başına 10 kN/m düşey yük vardır. EI sabittir, eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Kuvvet yöntemiyle mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Beşik çatılı çerçeve: A ve E sabit mesnet, 4 metre kolonlar, 2 metre sırt yüksekliği, 8 metre açıklık, eğik çubuklarda boy başına 10 kN/m düşey yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: 10.40 kN
$V_{A}$: 44.72 kN
$H_{E}$: −10.40 kN
$V_{E}$: 44.72 kN

Çözüm

1Fazla bilinmeyenler ve temel (izostatik) sistem

Sistem $1$ ° dereceden hiperstatik; 1 mesnet bileşeni serbest bırakılır, geriye izostatik temel sistem kalır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Temel (izostatik) sistem: A mesnedinin yatay tepkisi kaldırıldı; A, E mesnet(ler)i korunur.

Fazla bilinmeyenler: $X_{1} = H_{A}$

Temel sistem — serbest bırakılan bileşenler X okları

Bilinmeyen yatay itki. A'yı hareketli yapınca basit mesnetli bir çerçeve kalır; simetriden düşey tepkiler baştan bellidir.

2M₀ — temel sistem, gerçek yükler

Temel sistem izostatik olduğundan M₀ statikçe çizilir (CCW +). Eskizde eğri elemana dik ölçülür; uç ve ekstremum değerleri kNm.

M₀ diyagramı — temel sistem üzerinde gerçek yükler

Eleman	$M^{0}_{i}$ (kNm)	$M^{0}_{j}$ (kNm)
A–B	0	0
B–C	0	-89.44
C–D	89.44	0
D–E	0	0

Yük çubuk boyu başına: $10 \cdot \sqrt{20} = 44.72$ kN her eğik çubukta. C'deki moment: 44.72 × 4 − 44.72 × 2 = 89.44.

3Birim yükleme durumları

Her fazla bilinmeyenin birim değeri temel sisteme ayrı ayrı uygulanır ( $m_i$ uç momentleri):

m_{1}

—

X_{1}=1

(A mesnedinin yatay tepkisi)

m₁ diyagramı — temel sistemde yalnız birim etki

Eleman	$m^{1}_{i}$ (kNm)	$m^{1}_{j}$ (kNm)
A–B	0	4.00
B–C	-4.00	6.00
C–D	-6.00	4.00
D–E	-4.00	0

4Esneklik katsayıları ve uyumluluk

Sanal iş, eleman eksenleri boyunca toplanır: $\delta_{ij}=\sum_{el}\int \frac{m_i m_j}{EI}\,ds$ , $\delta_{i0}=\sum_{el}\int \frac{M_0 m_i}{EI}\,ds$ :

\delta_{11} = \dfrac{269.25}{EI}

\delta_{10} = \dfrac{-2800}{EI}

Uyumluluk $\sum_j \delta_{ij}X_j + \delta_{i0}=0$ :

269.25\,X_{1} = 2800

X_{1} = H_{A} = 10.40\ \text{kN}

$\delta_{11}$ 'i elle bul: kolonlar 2 × 4³/3 = 42.67. Eğik çubuklar 2 × $\sqrt{20}$ × (4² + 4 × 6 + 6²)/3 = 226.58. Eğik boy kullanılır, yatay izdüşüm değil.

5Sonuç: M diyagramı, tepkiler ve doğrulama

Süperpozisyon: $M = M_0 + \sum_i X_i\,m_i$ — diyagram artık gerçek (hiperstatik) sistemin cevabıdır.

M_{AB} = 0\ \text{kNm}

M_{BA} = 41.60\ \text{kNm}

M_{BC} = -41.60\ \text{kNm}

M_{CB} = -27.05\ \text{kNm}

M_{CD} = 27.05\ \text{kNm}

M_{DC} = 41.60\ \text{kNm}

M_{DE} = -41.60\ \text{kNm}

M_{ED} = 0\ \text{kNm}

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	10.40	44.72	0
E	-10.40	44.72	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy89.44 (tepkiler) − 89.44 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀357.77 (tepkiler) − 357.77 (yükler) = 0.00 kNm ✓

✓ Tepkiler, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maks fark 8.3 × 10⁻⁸ kN / kNm).

Son momentler elle: B'de 10.40 × 4 = 41.6; sırtta 89.44 − 10.40 × 6 = 27.05.

6Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

Beşik çatılı çerçevenin eğilme momenti diyagramı: kolon başında 41.60, sırtta 27.05 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Beşik çatılı çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: kolonlarda 10.40 kN, eğik çubuk B ucunda 35.35 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: 10.40 kN
$V_{A}$: 44.72 kN
$H_{E}$: −10.40 kN
$V_{E}$: 44.72 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Yük çubuk boyu başına verildiğinde toplam yük eğik boy üzerinden hesaplanır: 10 × 2 × 4.47 = 89.44 kN. Yatay izdüşümle bulunan 10 × 8 = 80 kN yanlıştır.
Eğik çubuklarda sanal iş integrali çubuk ekseni boyunca alınır; integralde yatay uzunluk kullanılmaz.
Her iki mesnet yatayda tutulu olduğu için düşey yük altında da yatay tepki oluşur. Bu soruda itki 10.40 kN'dur.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.