Açı Yöntemi · Soru 1 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru Çözümüİki açıklıklı sürekli kiriş, açı-deplasman

Soru. Şekildeki iki açıklıklı kirişte A sabit, B ve C hareketli mesnettir. Kirişin tamamında 12 kN/m yayılı yük vardır. EI sabittir. Açı yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

4 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: A sabit, B ve C hareketli mesnet, tamamında 12 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Kiriş, yük ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 13.50 kN
$V_{B}$: 77.50 kN
$V_{C}$: 29.00 kN

Çözüm

1Bilinmeyenler (düğüm dönmeleri)

Açı-deplasman bir deplasman (yer değiştirme) yöntemidir: bilinmeyenler dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Ankastre mesnetlerde dönme sıfırdır. Yana ötelenme ve mesnet çökmesi olmadığından $\psi = 0$ .

Bilinmeyenler: $\theta_{A}$ $\theta_{B}$ $\theta_{C}$

EI tüm açıklıklarda eşit; ortak çarpan alınarak bilinmeyenler $EI\theta$ cinsinden çözülür (kN·m²).

A ve C mafsallı olduğu için orada da dönme var. Üç bilinmeyen, üç denklem.

2Ankastrelik (uç) momentleri

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

M^{F}_{AB} = -16\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{BA} = 16\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{BC} = -36\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 36\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 1

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}(2\theta_i + \theta_j) + M^{F}_{ij}$ :

M_{AB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{A} + \theta_{B}\right) + M^{F}_{AB}

\Rightarrow\; M_{AB} = 1.000\,EI\theta_{A} + 0.500\,EI\theta_{B} - 16

M_{BA} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{B} + \theta_{A}\right) + M^{F}_{BA}

\Rightarrow\; M_{BA} = 1.000\,EI\theta_{B} + 0.500\,EI\theta_{A} + 16

M_{BC} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{B} + \theta_{C}\right) + M^{F}_{BC}

\Rightarrow\; M_{BC} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} - 36

M_{CB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{C} + \theta_{B}\right) + M^{F}_{CB}

\Rightarrow\; M_{CB} = 0.667\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{B} + 36

4Düğüm denge denklemleri

Her serbest düğümde uç momentlerinin toplamı sıfırdır (dış moment yoksa): $\sum M = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(A)}\quad 1.000\,EI\theta_{A} + 0.500\,EI\theta_{B} = 16

\text{(B)}\quad 0.500\,EI\theta_{A} + 1.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} = 20

\text{(C)}\quad 0.333\,EI\theta_{B} + 0.667\,EI\theta_{C} = -36

Kısa yol: A ve C'yi baştan mafsallı uç sayarsan $\tfrac{3EI}{4} + \tfrac{3EI}{6}$ ile tek bilinmeyen kalır: 1.25 $EI\theta_B$ = 54 − 24, yani $EI\theta_B = 24$ . Sonuç aynı.

5Çözüm (dönmeler)

EI\theta_{A} = 4\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{B} = 24\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{C} = -66\ \text{kN·m}^2

6Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = 0\ \text{kNm}

M_{BA} = 42\ \text{kNm}

M_{BC} = -42\ \text{kNm}

M_{CB} = 0\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 8.9 × 10⁻¹⁵ kNm).

İlk kontrol: $M_{AB}$ ve $M_{CB}$ sıfır çıkmalı, çünkü A ve C mafsallı. B'de de $M_{BA} + M_{BC} = 0$ .

7Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

8Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	13.50	0
B	0	77.50	0
C	0	29.00	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀600.00 (tepkiler) − 600.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Açı yöntemiyle çözülen sürekli kirişin eğilme momenti diyagramı: B mesnedinde −42.00, açıklıkta en büyük 35.04 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Açı yöntemiyle çözülen sürekli kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 13.50, B'nin sağında 43.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 13.50 kN
$V_{B}$: 77.50 kN
$V_{C}$: 29.00 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

3EI/L rijitliği kullanıldığında ankastrelik momentleri de mafsallı uca göre düzeltilmelidir. Bu soruda 16 ve 36 yerine 24 ve 54 alınır.
$\theta_A$ ve $\theta_C$ bilinmeyen alındığında A ve C düğümleri için de denge denklemi yazılır. Bu denklemler yazılmazsa bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla kalır.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 13.5 + 77.5 + 29 = 12 × 10.

Aynı soru, başka yöntem

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.