Cross Yöntemi · Soru 2 / 5Tüm sorular

Cross Yöntemi Soru Çözümüİki açıklıklı kiriş, mafsallı uçlarda 3EI/L

Soru. Şekildeki iki açıklıklı kirişte A sabit, B ve C hareketli mesnettir. Kirişin tamamında 12 kN/m yayılı yük vardır. EI sabittir. Cross yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

4 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: A sabit, B ve C hareketli mesnet, tamamında 12 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Kiriş, yük ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 13.50 kN
$V_{B}$: 77.50 kN
$V_{C}$: 29.00 kN

Çözüm

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

1Ankastrelik (uç) momentleri ve uçların serbestleştirilmesi

Her açıklık iki ucu tutulu kabul edilerek ankastrelik momentleri hesaplanır. Dış (uç) basit mesnetlerde moment sıfır olmalıdır; bu uçlar önceden serbest bırakılır ve momenti komşu uca taşınır:

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

$M^{F'}_{\text{yakın}} = M^{F}_{\text{yakın}} - \tfrac{1}{2}\,M^{F}_{\text{uç}}$ FEM tablosu, satır 8

AB çubuğu (L = 4.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{AB} = -16\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{BA} = 16\ \text{kNm}

\Rightarrow\ M^{F'}_{BA} = 24,\quad M_{AB} = 0

BC çubuğu (L = 6.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{BC} = -36\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 36\ \text{kNm}

\Rightarrow\ M^{F'}_{BC} = -54,\quad M_{CB} = 0

Serbest bırakılan dış mafsallar: A, C (bu uçlarda moment = 0, rijitlik $3EI/L$ ile hesaba katıldı).

A serbest bırakılınca −16'nın yarısı B'ye geçer: 16 + 8 = 24. C'den de: −36 − 18 = −54.

2Dağıtma katsayıları (iç düğümler)

Her iç düğümde çubuk rijitlikleri $k = \tfrac{4EI}{L}$ (uzak uç serbestse $\tfrac{3EI}{L}$ ) bulunur ve dağıtma katsayısı:

DF_{ij} = \frac{k_{ij}}{\sum k}

B düğümü: $DF_{BA} = 0.600$ $DF_{BC} = 0.400$

3EI/4 ve 3EI/6 oranı 0.6 ve 0.4. Kısa çubuk daha rijit, büyük pay onun.

3Moment dağıtma tablosu

Düğümler dengelenir (dengesizliğin tersi katsayılar oranında dağıtılır), artıklar uzak uca $\times\tfrac12$ taşınır; işlem yakınsayana dek tekrarlanır.

	B
	$M_{BA}$	$M_{BC}$
DF	0.600	0.400
FEM	24.00	−54.00
1. Dağıtma	18.00	12.00
Σ (Son)	42.00	−42.00

Dengesizlik 24 − 54 = −30, dağıtılan +30. Tek düğüm var ve uçlar baştan serbest, bu yüzden taşıma yok. 4EI/L ile başlasaydın A ve C de dengelenir, taşıma yapılır, birkaç turda aynı 42'ye varılırdı.

4Sonuç ve doğrulama

M_{BA} = 42\ \text{kNm}

M_{BC} = -42\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 7.1 × 10⁻¹⁵ kNm).

B'de dış moment yok, bu yüzden $M_{BA} = -M_{BC}$ olmalı.

5Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

6Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	13.50	0
B	0	77.50	0
C	0	29.00	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀600.00 (tepkiler) − 600.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Cross yöntemiyle çözülen sürekli kirişin eğilme momenti diyagramı: B mesnedinde −42.00, açıklıkta en büyük 35.04 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Cross yöntemiyle çözülen sürekli kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 13.50, B'nin sağında 43.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 13.50 kN
$V_{B}$: 77.50 kN
$V_{C}$: 29.00 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Mafsallı uçta 3EI/L alındığında o uca ayrıca moment taşınmaz. Taşıma yapılacaksa rijitlik 4EI/L olarak alınmalıdır.
Dağıtma katsayıları çubuklara ters atansa bile düğüm toplamı 1 çıktığı için hata kolay fark edilmez. Burada büyük katsayı 0.6, kısa olan BA çubuğuna aittir.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 13.5 + 77.5 + 29 = 12 × 10.

Aynı soru, başka yöntem

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.