Kuvvet Yöntemi · Soru 5 / 7Tüm sorular

Kuvvet Yöntemi Soru ÇözümüMesnet çökmesi kuvvet yöntemi, iki açıklıklı kiriş

Soru. Şekildeki iki açıklıklı kirişte A sabit, B ve C hareketli mesnettir. Kirişin tamamında 10 kN/m yayılı yük vardır ve B mesnedi 15 mm aşağı çökmektedir. EI = 30 000 kNm². Kuvvet yöntemiyle mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

6 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: A sabit, B ve C hareketli mesnet, tamamında 10 kN/m yayılı yük, B mesnedi 15 mm aşağı çöküyor — Şekil 1. Kiriş, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 28.75 kN
$V_{B}$: 62.50 kN
$V_{C}$: 28.75 kN

Çözüm

1Fazla bilinmeyenler ve temel (izostatik) sistem

Sistem $1$ ° dereceden hiperstatik; 1 fazla bilinmeyen seçilip kaldırılır, geriye izostatik temel sistem kalır.

Basit kiriş temel sistem: A ve C mesnetli; ara mesnet(ler) kaldırılır.

Fazla bilinmeyenler: $X_{1} = V_{B}$

Temel sistem — serbest bırakılan bileşenler X okları

B kalkınca 12 m'lik basit kiriş kalır. Çökme bilinmeyen değil, bilinen bir yer değiştirmedir.

2M₀ diyagramı (temel sistem, gerçek yükler)

M_{0,\,A\text{–}B}(\xi) = 60\xi - 5\xi^2

M_{0,\,B\text{–}C}(\xi) = 180 - 5\xi^2

3Birim yükleme (sanal) diyagramları

Her fazla bilinmeyenin birim değeri temel sisteme ayrı ayrı uygulanır; oluşan $m_i$ moment diyagramları:

m_{1}

—

X_{1}=1

(B mesnedinde birim yük)

m_{1,\,A\text{–}B}(\xi) = -0.50\xi

m_{1,\,B\text{–}C}(\xi) = -3 + 0.50\xi

4Esneklik katsayıları ve uyumluluk

Sanal iş ile $\delta_{ij}=\int\frac{m_i m_j}{EI}dx$ , $\delta_{i0}=\int\frac{M_0 m_i}{EI}dx$ (üniform EI'da 1/EI sadeleşir): EI = 30 000 kNm²

\delta_{11} = \dfrac{36}{EI}

\delta_{10} = \dfrac{-2700}{EI}

Uyumluluk $\sum_j \delta_{ij}X_j + \delta_{i0}=\bar\Delta_i$ :

Mesnet çökmesi var → serbest bırakılan yöndeki toplam yer değiştirme sıfır değil, mesnedin öngörülen çökmesi kadardır: $\bar\Delta_i = \Delta_i - \delta_{rijit,i}$ (Δᵢ = kaldırılan mesnedin çökmesi, bu denklemde yukarı + — aşağı çökme burada eksi işaretle girer; δ_rijit = tutulan mesnetlerin çökmesiyle temel sistemin rijit cisim hareketi). Sağ taraf EI ile çarpılmış hâlde yazılır:

36\,X_{1} = 2250

X_{1} = V_{B} = 62.50\ \text{kN}

Çökme sağ tarafa EI ile çarpılmış girer: 30 000 × 0.015 = 450. Böylece 2700 − 450 = 2250. Yalnız yük olsaydı EI sadeleşirdi, burada sadeleşmez.

5Mesnet tepkileri (süperpozisyon) ve doğrulama

V_{A} = 28.75\ \text{kN}

V_{B} = 62.50\ \text{kN}

V_{C} = 28.75\ \text{kN}

Mesnet momentleri, tepkilerden kesim yapılarak (sarkma +):

M_{B} = -7.50\ \text{kNm}

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	28.75	0
B	0	62.50	0
C	0	28.75	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀720.00 (tepkiler) − 720.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

✓ Tepkiler matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maks fark 4.1 × 10⁻⁹ kN / kNm).

Çökme olmasa $V_B = 75$ ve $M_B = -45$ olurdu. 15 mm çökme B'yi 12.5 kN boşalttı, yük A ve C'ye geçti.

6Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

Mesnedi çöken kirişin eğilme momenti diyagramı: B mesnedinde −7.50, açıklıkta en büyük 41.33 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Mesnedi çöken kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 28.75, B'nin sağında 31.25 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 28.75 kN
$V_{B}$: 62.50 kN
$V_{C}$: 28.75 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Çökmenin işareti ters alınırsa $V_B$ artar. B mesnedi aşağı çöktüğünde $V_B$ 'nin azalması beklenir; bu soruda 75 kN'dan 62.5 kN'a düşer.
Yalnız yük etkisinde sadeleşen EI, çökme varken sadeleşmez. Çökme terimi EI ile çarpıldığı için EI'nın sayısal değeri gereklidir.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 28.75 + 62.5 + 28.75 = 10 × 12.

Aynı soru, başka yöntem

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.