Açı Yöntemi · Soru 2 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru ÇözümüAçı yöntemi mesnet çökmesi, iki açıklıklı kiriş

Soru. Şekildeki iki açıklıklı kirişte A sabit, B ve C hareketli mesnettir. Kirişin tamamında 10 kN/m yayılı yük vardır ve B mesnedi 15 mm aşağı çökmektedir. EI = 30 000 kNm². Açı yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

6 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: A sabit, B ve C hareketli mesnet, 10 kN/m yayılı yük, B mesnedi 15 mm aşağı çöküyor — Şekil 1. Kiriş, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 28.75 kN
$V_{B}$: 62.50 kN
$V_{C}$: 28.75 kN

Çözüm

1Bilinmeyenler (düğüm dönmeleri)

Açı-deplasman bir deplasman (yer değiştirme) yöntemidir: bilinmeyenler dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Ankastre mesnetlerde dönme sıfırdır. Yana ötelenme yoktur; mesnet çökmesinin döndürdüğü kiriş dönmesi ψ ise bilinmeyen değil, bilinen bir değerdir (2. adım).

Bilinmeyenler: $\theta_{A}$ $\theta_{B}$ $\theta_{C}$

EI tüm açıklıklarda eşit; ortak çarpan alınarak bilinmeyenler $EI\theta$ cinsinden çözülür (kN·m²).

2Ankastrelik (uç) momentleri

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

M^{F}_{AB} = -30\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{BA} = 30\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{BC} = -30\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 30\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 1

Mesnet çökmesi var → kiriş dönmesi $\psi = \dfrac{\Delta_j - \Delta_i}{L}$ ; uç moment denklemine $-3\psi$ terimi eklenir $M_{ij}=\tfrac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j-3\psi)+M^{F}_{ij}$ . FEM tablosu, satır 7

\psi_{AB} = 2.500\times 10^{-3}\ \text{rad},\qquad -\tfrac{6EI}{L}\psi_{AB} = -75\ \text{kNm}

\psi_{BC} = -2.500\times 10^{-3}\ \text{rad},\qquad -\tfrac{6EI}{L}\psi_{BC} = 75\ \text{kNm}

$\psi$ bilinmeyen değil: 0.015 / 6 = 0.0025 rad. İki çubukta işareti ters, çünkü A–B sağa doğru iner, B–C çıkar.

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}(2\theta_i + \theta_j - 3\psi) + M^{F}_{ij}$ :

M_{AB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{A} + \theta_{B} - 3\psi_{AB}\right) + M^{F}_{AB}

\Rightarrow\; M_{AB} = 0.667\,EI\theta_{A} + 0.333\,EI\theta_{B} - 105

M_{BA} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{B} + \theta_{A} - 3\psi_{AB}\right) + M^{F}_{BA}

\Rightarrow\; M_{BA} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{A} - 45

M_{BC} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{B} + \theta_{C} - 3\psi_{BC}\right) + M^{F}_{BC}

\Rightarrow\; M_{BC} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} + 45

M_{CB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{C} + \theta_{B} - 3\psi_{BC}\right) + M^{F}_{CB}

\Rightarrow\; M_{CB} = 0.667\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{B} + 105

4Düğüm denge denklemleri

Her serbest düğümde uç momentlerinin toplamı sıfırdır (dış moment yoksa): $\sum M = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(A)}\quad 0.667\,EI\theta_{A} + 0.333\,EI\theta_{B} = 105

\text{(B)}\quad 0.333\,EI\theta_{A} + 1.333\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} = 0

\text{(C)}\quad 0.333\,EI\theta_{B} + 0.667\,EI\theta_{C} = -105

5Çözüm (dönmeler)

EI\theta_{A} = 157.50\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{B} = 0\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{C} = -157.50\ \text{kN·m}^2

Sistem ve yük simetrik, bu yüzden $\theta_B = 0$ ve $\theta_A = -\theta_C$ . Çözümü baştan buna göre kontrol et.

6Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = 0\ \text{kNm}

M_{BA} = 7.50\ \text{kNm}

M_{BC} = -7.50\ \text{kNm}

M_{CB} = 0\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 1.8 × 10⁻¹⁴ kNm).

$M_{BA}$ 'yı elle sağla: 0.333 × 157.5 − 45 = 7.5.

7Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

8Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	28.75	0
B	0	62.50	0
C	0	28.75	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀720.00 (tepkiler) − 720.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Açı yöntemiyle çözülen mesnedi çöken kirişin eğilme momenti diyagramı: B'de −7.50, açıklıkta en büyük 41.33 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Açı yöntemiyle çözülen mesnedi çöken kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 28.75, B'nin sağında 31.25 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 28.75 kN
$V_{B}$: 62.50 kN
$V_{C}$: 28.75 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

$\psi$ 'nin işareti ters alındığında bulunan sonuç statik dengeyi yine sağlayabilir, bu yüzden hata denge kontrolüyle yakalanamaz. Açık erişimli bir ders kitabının dört örneğinde de bu hata vardır.
Yükten gelen ankastrelik momentleriyle çökmeden gelen terimler ayrı hesaplanıp toplanır. Bu soruda −30 ve +30 yükten, −75 ve +75 çökmeden gelir.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 28.75 + 62.5 + 28.75 = 10 × 12.

Aynı soru, başka yöntem

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.