Cross Yöntemi · Soru 3 / 5Tüm sorular

Cross Yöntemi Soru ÇözümüCross yöntemi mesnet çökmesi, iki açıklıklı kiriş

Soru. Şekildeki iki açıklıklı kirişte A sabit, B ve C hareketli mesnettir. Kirişin tamamında 10 kN/m yayılı yük vardır ve B mesnedi 15 mm aşağı çökmektedir. EI = 30 000 kNm². Cross yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

6 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: A sabit, B ve C hareketli mesnet, 10 kN/m yayılı yük, B mesnedi 15 mm aşağı çöküyor — Şekil 1. Kiriş, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 28.75 kN
$V_{B}$: 62.50 kN
$V_{C}$: 28.75 kN

Çözüm

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

1Ankastrelik (uç) momentleri ve uçların serbestleştirilmesi

Her açıklık iki ucu tutulu kabul edilerek ankastrelik momentleri hesaplanır. Dış (uç) basit mesnetlerde moment sıfır olmalıdır; bu uçlar önceden serbest bırakılır ve momenti komşu uca taşınır:

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

$M^{F'}_{\text{yakın}} = M^{F}_{\text{yakın}} - \tfrac{1}{2}\,M^{F}_{\text{uç}}$ FEM tablosu, satır 8

Mesnet çökmesi var → çubukta kiriş dönmesi $\psi_0 = \dfrac{\Delta_j - \Delta_i}{L}$ oluşur ve her iki uca $-\tfrac{6EI}{L}\psi_0$ ankastrelik momenti eklenir (aşağıdaki Mᶠ değerlerine dahildir): $-\tfrac{6EI}{L}\psi_{0,AB} = -75\ \text{kNm}$ $-\tfrac{6EI}{L}\psi_{0,BC} = 75\ \text{kNm}$ FEM tablosu, satır 7

AB çubuğu (L = 6.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{AB} = -105\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{BA} = -45\ \text{kNm}

\Rightarrow\ M^{F'}_{BA} = 7.50,\quad M_{AB} = 0

BC çubuğu (L = 6.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{BC} = 45\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 105\ \text{kNm}

\Rightarrow\ M^{F'}_{BC} = -7.50,\quad M_{CB} = 0

Serbest bırakılan dış mafsallar: A, C (bu uçlarda moment = 0, rijitlik $3EI/L$ ile hesaba katıldı).

$\psi = 0.015/6 = 0.0025$ , $6EI\psi/L = 75$ . FEM'e eklenir: −30 − 75 = −105 ve 30 − 75 = −45. A serbest bırakılınca −45 + 105/2 = 7.5.

2Dağıtma katsayıları (iç düğümler)

Her iç düğümde çubuk rijitlikleri $k = \tfrac{4EI}{L}$ (uzak uç serbestse $\tfrac{3EI}{L}$ ) bulunur ve dağıtma katsayısı:

DF_{ij} = \frac{k_{ij}}{\sum k}

B düğümü: $DF_{BA} = 0.500$ $DF_{BC} = 0.500$

3Moment dağıtma tablosu

Düğümler dengelenir (dengesizliğin tersi katsayılar oranında dağıtılır), artıklar uzak uca $\times\tfrac12$ taşınır; işlem yakınsayana dek tekrarlanır.

	B
	$M_{BA}$	$M_{BC}$
DF	0.500	0.500
FEM	7.50	−7.50
Σ (Son)	7.50	−7.50

B'de 7.5 − 7.5 = 0: sistem ve yük simetrik, dağıtılacak moment kalmıyor. Tablo tek satırda biter.

4Sonuç ve doğrulama

M_{BA} = 7.50\ \text{kNm}

M_{BC} = -7.50\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 8.0 × 10⁻¹⁵ kNm).

5Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

6Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	28.75	0
B	0	62.50	0
C	0	28.75	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀720.00 (tepkiler) − 720.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Tepkiyi elle sağla: (10 × 6 × 3 − 7.5) / 6 = 28.75, $V_B = 2 \times 31.25 = 62.5$ .

Cross yöntemiyle çözülen mesnedi çöken kirişin eğilme momenti diyagramı: B'de −7.50, açıklıkta en büyük 41.33 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Cross yöntemiyle çözülen mesnedi çöken kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 28.75, B'nin sağında 31.25 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 28.75 kN
$V_{B}$: 62.50 kN
$V_{C}$: 28.75 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

$6EI\psi/L$ teriminin işareti ters alındığında bulunan sonuç statik dengeyi yine sağlayabilir, bu yüzden hata denge kontrolüyle yakalanamaz.
Mafsallı uçta 3EI/L alındığında o uca ayrıca moment taşınmaz. Taşıma yapılacaksa rijitlik 4EI/L olarak alınmalıdır.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 28.75 + 62.5 + 28.75 = 10 × 12.

Aynı soru, başka yöntem

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.