Açı Yöntemi · Soru 6 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru ÇözümüAçı yöntemi ötelenmeli çerçeve: portal

Soru. Şekildeki portal çerçevede A ve D ankastredir. Kolonlar 4 m, B–C kirişi 6 m'dir. Kirişte 10 kN/m yayılı yük, B düğümünde sağa doğru 30 kN yatay yük vardır. EI sabittir, eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Açı yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Portal çerçeve: A ve D ankastre, 4 metre kolonlar, 6 metre kiriş, kirişte 10 kN/m yayılı yük, B düğümünde 30 kN yatay yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: −6.56 kN
$V_{A}$: 22.00 kN
$M_{A}$: 24.75 kNm
$H_{D}$: −23.44 kN
$V_{D}$: 38.00 kN
$M_{D}$: 47.25 kNm

Çözüm

1Bilinmeyenler ve varsayımlar

Açı-deplasman bir deplasman yöntemidir: bilinmeyenler, dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Bu çerçeve YANA ÖTELENMELİ (sway): her kat için bir ötelenme bilinmeyeni $\Delta$ ve bir kat kesme denge denklemi eklenir; kolonlarda kiriş dönmesi $\psi = \Delta/h$ . Eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Ankastre (θ = 0): $\theta_{A} = 0$ $\theta_{D} = 0$
Bilinmeyenler: $\theta_{B}$ $\theta_{C}$ $\Delta_{1}$

EI tüm elemanlarda eşit; ortak çarpan alınarak bilinmeyenler $EI\theta$ cinsinden çözülür (kN·m²).

Yatay yük var ve kolon başlarını tutan bir şey yok: kat yana öteler. Üç bilinmeyen: $\theta_B$ , $\theta_C$ , $\Delta_1$ .

2Ankastrelik (uç) momentleri

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

Eleman	L (m)	Mᶠᵢⱼ (kNm)	Mᶠⱼᵢ (kNm)
A–B	4.00	0	0
B–C	6.00	-30.00	30.00
D–C	4.00	0	0

B–C: FEM tablosu, satır 1

Kolonlarda kiriş dönmeleri (kat ötelenmesinden):

$\psi_{AB} = \Delta_{1}/4$ $\psi_{DC} = \Delta_{1}/4$

Kolonlar eşit boyda, ikisinde de $\psi = \Delta_1/4$ . Kiriş ötelenmede dönmez, $\psi = 0$ .

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}\left(2\theta_i + \theta_j - 3\psi\right) + M^{F}_{ij}$ (kolonlarda ψ = Δ/h):

M_{AB} = 0.500\,EI\theta_{B} - 0.375\,EI\Delta_{1} + 0

M_{BA} = 1.000\,EI\theta_{B} - 0.375\,EI\Delta_{1} + 0

M_{BC} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} - 30

M_{CB} = 0.667\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{B} + 30

M_{DC} = 0.500\,EI\theta_{C} - 0.375\,EI\Delta_{1} + 0

M_{CD} = 1.000\,EI\theta_{C} - 0.375\,EI\Delta_{1} + 0

4Düğüm denge denklemleri

Dönebilen her düğümde uç momentleri dış momentle dengelenir: $\sum M_{\text{uç}} + M_{\text{dış}} = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(B)}\quad 1.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} - 0.375\,EI\Delta_{1} = 30

\text{(C)}\quad 0.333\,EI\theta_{B} + 1.667\,EI\theta_{C} - 0.375\,EI\Delta_{1} = -30

5Kat kesme (ΣFx) denge denklemleri

Düğüm dengeleri ötelenmeyi belirleyemez; her kat kesiti için yatay kesme dengesi yazılır (kat kesitindeki kolon kesmeleri, kesit üstündeki yatay yükleri karşılar). Bilinmeyenli biçimi:

\text{(Kat 1)}\quad -0.375\,EI\theta_{B} - 0.375\,EI\theta_{C} + 0.375\,EI\Delta_{1} = 30

Sağ taraf 30.00 kN: B düğümündeki yatay yük 30.00 kN.

Üçüncü denklem düğümden gelmez: kolon kesmeleri toplamı 30 kN'u karşılamalı. Kolon kesmesi $-(M_{ij} + M_{ji})/h$ ile yazılır.

6Çözüm (dönmeler ve ötelenmeler)

EI\theta_{B} = 46.50\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{C} = 1.50\ \text{kN·m}^2

EI\Delta_{1} = 128\ \text{kN·m}^3\;\;(\Delta_{1} = 4.27\ \text{mm})

7Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = -24.75\ \text{kNm}

M_{BA} = -1.50\ \text{kNm}

M_{BC} = 1.50\ \text{kNm}

M_{CB} = 46.50\ \text{kNm}

M_{DC} = -47.25\ \text{kNm}

M_{CD} = -46.50\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 2.1 × 10⁻⁶ kNm).

8Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

Kat kesme sağlaması — kolon uç kesmelerinin toplamı, kesit üstündeki yatay yükü karşılamalı:

Σ kolon kesmesi = 30.00 kN — kesit üstü yatay yük 30.00 kN ✓

Kolon kesmelerini elle bul: (24.75 + 1.5) / 4 = 6.56 ve (47.25 + 46.5) / 4 = 23.44. Toplam 30, yatay yük kadar.

9Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	-6.56	22.00	24.75
D	-23.44	38.00	47.25

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx-30.00 (tepkiler) + 30.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy60.00 (tepkiler) − 60.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀300.00 (tepkiler) − 300.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Ötelenen portal çerçevenin eğilme momenti diyagramı: A'da 24.75, B'de 1.50, C'de 46.50, D'de 47.25 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Ötelenen portal çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: sol kolonda 6.56, sağ kolonda 23.44 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: −6.56 kN
$V_{A}$: 22.00 kN
$M_{A}$: 24.75 kNm
$H_{D}$: −23.44 kN
$V_{D}$: 38.00 kN
$M_{D}$: 47.25 kNm

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

$\psi$ ya da ankastrelik momentinin işareti ters alındığında bulunan sonuç statik dengeyi yine sağlayabilir, bu yüzden hata denge kontrolüyle yakalanamaz. Açık erişimli bir ders kitabının dört örneğinde de bu hata vardır.
Düğüm denklemleri kat ötelenmesini belirlemez. Kat kesme denklemi yazılmazsa bir denklem eksik kalır.
Kat kesme denkleminin sağ tarafına kesit üstündeki bütün yatay yükler yazılır.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.