Açı Yöntemi · Soru 7 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru ÇözümüAçı yöntemi farklı boy kolon, konsol ve ötelenme

Soru. Şekildeki çerçevede A ve E ankastredir. A–B kolonu 4 m ve 2I, E–C kolonu 6 m ve 2I, B–C ve C–D 4 m ve I'dır; D ucu serbesttir. A–B kolonunda A'da 12 kN/m, B'de sıfır olan yatay üçgen yük, C–D konsolunda 10 kN/m yayılı yük vardır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Açı yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Farklı boy kolonlu çerçeve: A ve E ankastre, 4 ve 6 metre 2I kolonlar, 4 metre kiriş, 4 metre konsol; kolonda 12 kN/m'den sıfıra yatay üçgen yük, konsolda 10 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: −32.24 kN
$V_{A}$: −16.22 kN
$M_{A}$: 41.92 kNm
$H_{E}$: 8.24 kN
$V_{E}$: 56.22 kN
$M_{E}$: −11.28 kNm

Çözüm

1Bilinmeyenler ve varsayımlar

Açı-deplasman bir deplasman yöntemidir: bilinmeyenler, dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Bu çerçeve YANA ÖTELENMELİ (sway): her kat için bir ötelenme bilinmeyeni $\Delta$ ve bir kat kesme denge denklemi eklenir; kolonlarda kiriş dönmesi $\psi = \Delta/h$ . Eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Ankastre (θ = 0): $\theta_{A} = 0$ $\theta_{E} = 0$
Bilinmeyenler: $\theta_{B}$ $\theta_{C}$ $\Delta_{1}$

Elemanların EI'ları farklı; her eleman $k = EI/EI_0$ oranıyla taşınır (aşağıdaki tabloda), bilinmeyenler $EI_0\theta$ cinsinden.

2Ankastrelik (uç) momentleri

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

Eleman	L (m)	EI/EI₀	Mᶠᵢⱼ (kNm)	Mᶠⱼᵢ (kNm)
A–B	4.00	2.00	-9.60	6.40
B–C	4.00	1.00	0	0
C–D (konsol)	4.00	1.00	—	—
E–C	6.00	2.00	0	0

Konsol (çıkma) elemanların uç momenti statikçe bilinir; dağıtım denklemlerine katılmaz, bağlandığı düğümün dengesine hazır değer olarak girer.

Kolonlarda kiriş dönmeleri (kat ötelenmesinden):

$\psi_{AB} = \Delta_{1}/4$ $\psi_{EC} = \Delta_{1}/6$

İki kolonun boyu farklı, ψ'ler de farklı: $\psi_{AB} = \Delta_1/4$ , $\psi_{EC} = \Delta_1/6$ . Üçgen yükte FEM: wL²/20 = 9.6 ve wL²/30 = 6.4. Konsol: 10 × 4 × 2 = 80.

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}\left(2\theta_i + \theta_j - 3\psi\right) + M^{F}_{ij}$ (kolonlarda ψ = Δ/h):

M_{AB} = 1.000\,EI\theta_{B} - 0.750\,EI\Delta_{1} - 9.60

M_{BA} = 2.000\,EI\theta_{B} - 0.750\,EI\Delta_{1} + 6.40

M_{BC} = 1.000\,EI\theta_{B} + 0.500\,EI\theta_{C} + 0

M_{CB} = 1.000\,EI\theta_{C} + 0.500\,EI\theta_{B} + 0

M_{CD} = -80\ \text{kNm}\quad\text{(konsol — statikçe bilinir)}

M_{EC} = 0.667\,EI\theta_{C} - 0.333\,EI\Delta_{1} + 0

M_{CE} = 1.333\,EI\theta_{C} - 0.333\,EI\Delta_{1} + 0

4Düğüm denge denklemleri

Dönebilen her düğümde uç momentleri dış momentle dengelenir: $\sum M_{\text{uç}} + M_{\text{dış}} = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(B)}\quad 3.000\,EI\theta_{B} + 0.500\,EI\theta_{C} - 0.750\,EI\Delta_{1} = -6.40

\text{(C)}\quad 0.500\,EI\theta_{B} + 2.333\,EI\theta_{C} - 0.333\,EI\Delta_{1} = 80

(C düğümüne konsoldan gelen bilinen moment: -80.00 kNm — sağ tarafa taşındı.)

C'nin sağ tarafındaki 80 konsoldan gelir: bilinen moment, bilinmeyen değil. Konsol ucu için denklem yazılmaz.

5Kat kesme (ΣFx) denge denklemleri

Düğüm dengeleri ötelenmeyi belirleyemez; her kat kesiti için yatay kesme dengesi yazılır (kat kesitindeki kolon kesmeleri, kesit üstündeki yatay yükleri karşılar). Bilinmeyenli biçimi:

\text{(Kat 1)}\quad -0.750\,EI\theta_{B} - 0.333\,EI\theta_{C} + 0.486\,EI\Delta_{1} = 7.20

Sağ taraf 7.20 kN: A–B çubuğundaki yükün kesit üstüne aktardığı ankastrelik kuvveti 7.20 kN.

Sağ taraftaki 7.2, üçgen yükün kolonun üst ucuna düşen ankastrelik kuvvetidir: 3wL/20 = 3 × 12 × 4 / 20. Toplam yatay yük 24 kN, onun 16.8'i doğrudan A'ya iner.

6Çözüm (dönmeler ve ötelenmeler)

EI_0\theta_{B} = 2.87\ \text{kN·m}^2

EI_0\theta_{C} = 40.37\ \text{kN·m}^2

EI_0\Delta_{1} = 46.92\ \text{kN·m}^3\;\;(\Delta_{1} = 1.56\ \text{mm})

7Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = -41.92\ \text{kNm}

M_{BA} = -23.06\ \text{kNm}

M_{BC} = 23.06\ \text{kNm}

M_{CB} = 41.81\ \text{kNm}

M_{CD} = -80\ \text{kNm}

M_{EC} = 11.28\ \text{kNm}

M_{CE} = 38.19\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 5.1 × 10⁻⁶ kNm).

8Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

Kat kesme sağlaması — kolon uç kesmelerinin toplamı, kesit üstündeki yatay yükü karşılamalı:

Σ kolon kesmesi = 24.00 kN — kesit üstü yatay yük 24.00 kN ✓

9Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	-32.24	-16.22	41.92
E	8.24	56.22	-11.28

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx-24.00 (tepkiler) + 24.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy40.00 (tepkiler) − 40.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀320.00 (tepkiler) − 320.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

$V_A$ eksi: A çekmede. Konsoldaki yük C üzerinden çerçeveyi döndürüyor. Düşey toplam: −16.22 + 56.22 = 10 × 4.

Farklı boy kolonlu çerçevenin eğilme momenti diyagramı: A'da 41.92, C–D ucunda 80.00, E'de 11.28 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Farklı boy kolonlu çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: A'da 32.24, E–C kolonunda 8.24, konsolun C ucunda 40.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: −32.24 kN
$V_{A}$: −16.22 kN
$M_{A}$: 41.92 kNm
$H_{E}$: 8.24 kN
$V_{E}$: 56.22 kN
$M_{E}$: −11.28 kNm

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Kat ötelenmesi iki kolonda aynı olsa da ψ = Δ/h kolon boyuna bağlıdır. Burada Δ/4 ve Δ/6 alınır.
$\psi$ ya da ankastrelik momentinin işareti ters alındığında bulunan sonuç statik dengeyi yine sağlayabilir, bu yüzden hata denge kontrolüyle yakalanamaz.
Konsol momenti bilinmeyen değildir. Statikten bulunan 80 kNm doğrudan C düğümünün denge denklemine yazılır.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.