Açı Yöntemi · Soru 5 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru ÇözümüAçı yöntemi çok açıklıklı çerçeve

Soru. Şekildeki çerçevede A sabit, D, E ve F ankastredir. Kiriş açıklıkları 6 m, B ve C altındaki kolonlar 4 m'dir. B–C ortasında 40 kN tekil yük, C–D'de 10 kN/m yayılı yük vardır. EI sabittir, eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Açı yöntemiyle uç momentlerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Üç açıklıklı çerçeve: A sabit, D, E ve F ankastre, 6 metre açıklıklar, 4 metre kolonlar, B–C ortasında 40 kN tekil yük, C–D'de 10 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: −1.18 kN
$V_{D}$: 29.66 kN
$M_{D}$: −29.33 kNm
$H_{E}$: 5.31 kN
$V_{E}$: 19.16 kN
$M_{E}$: −7.08 kNm
$H_{F}$: −0.76 kN
$V_{F}$: 52.36 kN
$M_{F}$: 1.01 kNm
$H_{A} + H_{D}$: −4.55 kN

Çözüm

1Bilinmeyenler ve varsayımlar

Açı-deplasman bir deplasman yöntemidir: bilinmeyenler, dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Bu çerçeve yana ötelenmesiz (sway'siz) olduğundan tüm elemanlarda $\psi = 0$ ; eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Ankastre (θ = 0): $\theta_{D} = 0$ $\theta_{E} = 0$ $\theta_{F} = 0$
Bilinmeyenler: $\theta_{A}$ $\theta_{B}$ $\theta_{C}$

EI tüm elemanlarda eşit; ortak çarpan alınarak bilinmeyenler $EI\theta$ cinsinden çözülür (kN·m²).

A mafsallı olduğu için orada da dönme var: $\theta_A$ , $\theta_B$ , $\theta_C$ . Sınavda bazen yalnız bu denklemlerin yazılması istenir.

2Ankastrelik (uç) momentleri

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

Eleman	L (m)	Mᶠᵢⱼ (kNm)	Mᶠⱼᵢ (kNm)
A–B	6.00	0	0
B–C	6.00	-30.00	30.00
C–D	6.00	-30.00	30.00
E–B	4.00	0	0
F–C	4.00	0	0

B–C: FEM tablosu, satır 2 C–D: FEM tablosu, satır 1

B–C için PL/8 = 40 × 6 / 8 = 30, C–D için wL²/12 = 10 × 36 / 12 = 30. İki değer de 30 olduğu için C'de FEM'ler birbirini götürür.

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}\left(2\theta_i + \theta_j\right) + M^{F}_{ij}$ (ψ = 0):

M_{AB} = 0.667\,EI\theta_{A} + 0.333\,EI\theta_{B} + 0

M_{BA} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{A} + 0

M_{BC} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} - 30

M_{CB} = 0.667\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{B} + 30

M_{CD} = 0.667\,EI\theta_{C} - 30

M_{DC} = 0.333\,EI\theta_{C} + 30

M_{EB} = 0.500\,EI\theta_{B} + 0

M_{BE} = 1.000\,EI\theta_{B} + 0

M_{FC} = 0.500\,EI\theta_{C} + 0

M_{CF} = 1.000\,EI\theta_{C} + 0

4Düğüm denge denklemleri

Dönebilen her düğümde uç momentleri dış momentle dengelenir: $\sum M_{\text{uç}} + M_{\text{dış}} = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(A)}\quad 0.667\,EI\theta_{A} + 0.333\,EI\theta_{B} = 0

\text{(B)}\quad 0.333\,EI\theta_{A} + 2.333\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} = 30

\text{(C)}\quad 0.333\,EI\theta_{B} + 2.333\,EI\theta_{C} = 0

$\theta_B$ katsayısı: 0.667 + 0.667 + 1 = 2.333. Kolonda 4EI/4 = 1, kirişlerde 4EI/6 = 0.667. C'nin sağ tarafı 0, çünkü 30 − 30 = 0.

5Çözüm (dönmeler)

EI\theta_{A} = -7.08\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{B} = 14.16\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{C} = -2.02\ \text{kN·m}^2

6Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = 0\ \text{kNm}

M_{BA} = 7.08\ \text{kNm}

M_{BC} = -21.24\ \text{kNm}

M_{CB} = 33.37\ \text{kNm}

M_{CD} = -31.35\ \text{kNm}

M_{DC} = 29.33\ \text{kNm}

M_{EB} = 7.08\ \text{kNm}

M_{BE} = 14.16\ \text{kNm}

M_{FC} = -1.01\ \text{kNm}

M_{CF} = -2.02\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 3.6 × 10⁻⁶ kNm).

Kontrol: B'de 7.08 − 21.24 + 14.16 = 0. Kolon ucu: $M_{EB} = M_{BE}/2$ , çünkü E ankastre.

7Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

8Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Eksenel şekil değiştirme ihmal edildiği için, iki mesnet arasında doğru giden çubuk zincirinde eksenel kuvvetin mesnetlere paylaşımı uç momentlerinden çıkmaz. Sonuç tablosunda bu tepkilerin yalnız toplamı verildi; öbür tepkiler, M ve V diyagramları bundan etkilenmez.

Çok açıklıklı çerçevenin eğilme momenti diyagramı: B–C ucunda 21.24, C–B ucunda 33.37, D ucunda 29.33 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Çok açıklıklı çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: B–C kirişinin B ucunda 17.98, C–D kirişinin C ucunda 30.34 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: −1.18 kN
$V_{D}$: 29.66 kN
$M_{D}$: −29.33 kNm
$H_{E}$: 5.31 kN
$V_{E}$: 19.16 kN
$M_{E}$: −7.08 kNm
$H_{F}$: −0.76 kN
$V_{F}$: 52.36 kN
$M_{F}$: 1.01 kNm
$H_{A} + H_{D}$: −4.55 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

B ve C düğümlerinde üçer çubuk birleşir. Denge denklemine kolonun uç momenti de katılmalıdır.
A mafsallı olduğu için dönmesi sıfır alınamaz. $\theta_A$ bilinmeyendir ve A için de denklem yazılır.
Bir yükün ankastrelik momentleri çubuğun iki ucunda ters işaretlidir. Aynı işaretle yazılırsa düğüm dengesi bozulur.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.