Açı Yöntemi · Soru 4 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru ÇözümüAçı yöntemi çerçeve soru çözümü: T çerçeve

Soru. Şekildeki çerçevede B düğümünde üç çubuk birleşir. A ve C ankastre, D sabit mesnettir. A–B kolonu 4 m, B–C kolonu 3 m ve I, B–D kirişi 6 m ve 2I'dır. Kirişte 12 kN/m yayılı yük vardır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Açı yöntemiyle uç momentlerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

T çerçeve: A ve C ankastre, D sabit mesnet, 4 ve 3 metre kolonlar I, 6 metre kiriş 2I, kirişte 12 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: 6.08 kN
$M_{A}$: −8.10 kNm
$H_{C}$: −10.80 kN
$M_{C}$: −10.80 kNm
$H_{D}$: 4.73 kN
$V_{D}$: 29.70 kN
$V_{A} + V_{C}$: 42.30 kN

Çözüm

1Bilinmeyenler ve varsayımlar

Açı-deplasman bir deplasman yöntemidir: bilinmeyenler, dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Bu çerçeve yana ötelenmesiz (sway'siz) olduğundan tüm elemanlarda $\psi = 0$ ; eksenel şekil değiştirme ihmal edilir ( $EA \approx \infty$ — ders varsayımı).

Ankastre (θ = 0): $\theta_{A} = 0$ $\theta_{C} = 0$
Bilinmeyenler: $\theta_{B}$ $\theta_{D}$

Elemanların EI'ları farklı; her eleman $k = EI/EI_0$ oranıyla taşınır (aşağıdaki tabloda), bilinmeyenler $EI_0\theta$ cinsinden.

Yana ötelenme yok: A, C ve D yatay tutuyor, çubuklar eksenel olarak uzamıyor. Yalnız B ve D döner.

2Ankastrelik (uç) momentleri

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

Eleman	L (m)	EI/EI₀	Mᶠᵢⱼ (kNm)	Mᶠⱼᵢ (kNm)
A–B	4.00	1.00	0	0
B–C	3.00	1.00	0	0
B–D	6.00	2.00	-36.00	36.00

B–D: FEM tablosu, satır 1

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}\left(2\theta_i + \theta_j\right) + M^{F}_{ij}$ (ψ = 0):

M_{AB} = 0.500\,EI\theta_{B} + 0

M_{BA} = 1.000\,EI\theta_{B} + 0

M_{BC} = 1.333\,EI\theta_{B} + 0

M_{CB} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0

M_{BD} = 1.333\,EI\theta_{B} + 0.667\,EI\theta_{D} - 36

M_{DB} = 1.333\,EI\theta_{D} + 0.667\,EI\theta_{B} + 36

4Düğüm denge denklemleri

Dönebilen her düğümde uç momentleri dış momentle dengelenir: $\sum M_{\text{uç}} + M_{\text{dış}} = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(B)}\quad 3.667\,EI\theta_{B} + 0.667\,EI\theta_{D} = 36

\text{(D)}\quad 0.667\,EI\theta_{B} + 1.333\,EI\theta_{D} = -36

B'de üç çubuk toplanır: $\theta_B$ katsayısı 1 + 1.333 + 1.333 = 3.667. Birini atlarsan denklem yine çözülür, sonuç yanlış olur.

5Çözüm (dönmeler)

EI_0\theta_{B} = 16.20\ \text{kN·m}^2

EI_0\theta_{D} = -35.10\ \text{kN·m}^2

6Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = 8.10\ \text{kNm}

M_{BA} = 16.20\ \text{kNm}

M_{BC} = 21.60\ \text{kNm}

M_{CB} = 10.80\ \text{kNm}

M_{BD} = -37.80\ \text{kNm}

M_{DB} = 0\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 2.3 × 10⁻⁶ kNm).

İlk kontrol: $M_{DB} = 0$ , çünkü D mafsallı. B'de 16.2 + 21.6 − 37.8 = 0.

7Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

8Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Eksenel şekil değiştirme ihmal edildiği için, iki mesnet arasında doğru giden çubuk zincirinde eksenel kuvvetin mesnetlere paylaşımı uç momentlerinden çıkmaz. Sonuç tablosunda bu tepkilerin yalnız toplamı verildi; öbür tepkiler, M ve V diyagramları bundan etkilenmez.

V_D'yi elle bul: (12 × 6 × 3 − 37.8) / 6 = 29.7. Kalan 72 − 29.7 = 42.3 kN kolon zincirine iner.

T çerçevenin eğilme momenti diyagramı: B düğümünde 16.20, 21.60 ve 37.80 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

T çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: alt kolonda 6.08, üst kolonda 10.80, kirişin B ucunda 42.30 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: 6.08 kN
$M_{A}$: −8.10 kNm
$H_{C}$: −10.80 kN
$M_{C}$: −10.80 kNm
$H_{D}$: 4.73 kN
$V_{D}$: 29.70 kN
$V_{A} + V_{C}$: 42.30 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

B düğümünde üç çubuk birleşir ve denge denklemine üçünün uç momenti de girer.
D mafsallı olduğu için ankastre gibi alınamaz. Bu düğüm için ayrı denklem yazılır ve uç momenti sıfır çıkmalıdır.
EA ≈ ∞ kabulüyle kolonlara giden toplam düşey yük bellidir ( $V_A + V_C = 42.3$ kN), ancak iki kolonun payları uç momentlerinden bulunamaz.

Aynı soru, başka yöntem

Cross yöntemi

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.