Açı Yöntemi · Soru 3 / 7Tüm sorular

Açı Yöntemi Soru ÇözümüAçı yöntemi üçgen yük, üç açıklıklı kiriş

Soru. Şekildeki üç açıklıklı kirişte A sabit, B, C ve D hareketli mesnettir. Açıklıklar 6 m'dir. Kenar açıklıklarda dış mesnette sıfır, iç mesnette 12 kN/m olan üçgen yük, orta açıklıkta 12 kN/m yayılı yük vardır. EI sabittir. Açı yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

6, 6 ve 6 metre açıklıklı sürekli kiriş: kenar açıklıklarda 0'dan 12 kN/m'ye üçgen yük, orta açıklıkta 12 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Kiriş, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 6.48 kN
$V_{B}$: 65.52 kN
$V_{C}$: 65.52 kN
$V_{D}$: 6.48 kN

Çözüm

1Bilinmeyenler (düğüm dönmeleri)

Açı-deplasman bir deplasman (yer değiştirme) yöntemidir: bilinmeyenler dönebilen düğümlerin dönmeleridir. Ankastre mesnetlerde dönme sıfırdır. Yana ötelenme ve mesnet çökmesi olmadığından $\psi = 0$ .

Bilinmeyenler: $\theta_{A}$ $\theta_{B}$ $\theta_{C}$ $\theta_{D}$

EI tüm açıklıklarda eşit; ortak çarpan alınarak bilinmeyenler $EI\theta$ cinsinden çözülür (kN·m²).

2Ankastrelik (uç) momentleri

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

M^{F}_{AB} = -14.40\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{BA} = 21.60\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 4

M^{F}_{BC} = -36\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 36\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{CD} = -21.60\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{DC} = 14.40\ \text{kNm}

FEM tablosu, satır 1 + 4 (süperpozisyon)

Üçgen yükte iki uç eşit değildir: yükün büyük olduğu uçta wL²/20 = 21.6, küçük uçta wL²/30 = 14.4. Orta açıklıkta wL²/12 = 36.

3Açı-deplasman (uç moment) denklemleri

Her çubuk ucu için $M_{ij} = \tfrac{2EI}{L}(2\theta_i + \theta_j) + M^{F}_{ij}$ :

M_{AB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{A} + \theta_{B}\right) + M^{F}_{AB}

\Rightarrow\; M_{AB} = 0.667\,EI\theta_{A} + 0.333\,EI\theta_{B} - 14.40

M_{BA} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{B} + \theta_{A}\right) + M^{F}_{BA}

\Rightarrow\; M_{BA} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{A} + 21.60

M_{BC} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{B} + \theta_{C}\right) + M^{F}_{BC}

\Rightarrow\; M_{BC} = 0.667\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} - 36

M_{CB} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{C} + \theta_{B}\right) + M^{F}_{CB}

\Rightarrow\; M_{CB} = 0.667\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{B} + 36

M_{CD} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{C} + \theta_{D}\right) + M^{F}_{CD}

\Rightarrow\; M_{CD} = 0.667\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{D} - 21.60

M_{DC} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_{D} + \theta_{C}\right) + M^{F}_{DC}

\Rightarrow\; M_{DC} = 0.667\,EI\theta_{D} + 0.333\,EI\theta_{C} + 14.40

4Düğüm denge denklemleri

Her serbest düğümde uç momentlerinin toplamı sıfırdır (dış moment yoksa): $\sum M = 0$ . Bilinmeyenler için doğrusal sistem:

\text{(A)}\quad 0.667\,EI\theta_{A} + 0.333\,EI\theta_{B} = 14.40

\text{(B)}\quad 0.333\,EI\theta_{A} + 1.333\,EI\theta_{B} + 0.333\,EI\theta_{C} = 14.40

\text{(C)}\quad 0.333\,EI\theta_{B} + 1.333\,EI\theta_{C} + 0.333\,EI\theta_{D} = -14.40

\text{(D)}\quad 0.333\,EI\theta_{C} + 0.667\,EI\theta_{D} = -14.40

5Çözüm (dönmeler)

EI\theta_{A} = 17.28\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{B} = 8.64\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{C} = -8.64\ \text{kN·m}^2

EI\theta_{D} = -17.28\ \text{kN·m}^2

Sistem simetrik: $\theta_D = -\theta_A$ ve $\theta_C = -\theta_B$ . Sonuçlar da böyle çıkmalı.

6Uç momentleri ve doğrulama

Dönmeler denklemlere geri yerleştirilir:

M_{AB} = 0\ \text{kNm}

M_{BA} = 33.12\ \text{kNm}

M_{BC} = -33.12\ \text{kNm}

M_{CB} = 33.12\ \text{kNm}

M_{CD} = -33.12\ \text{kNm}

M_{DC} = 0\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 1.8 × 10⁻¹⁵ kNm).

7Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

8Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	0	6.48	0
B	0	65.52	0
C	0	65.52	0
D	0	6.48	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy144.00 (tepkiler) − 144.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀1296.00 (tepkiler) − 1296.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

$V_A$ 'yı elle sağla: (36 × 2 − 33.12) / 6 = 6.48. Üçgende V = 0 için $x^2 = 6.48$ , yani x = 2.55 m; açıklık momenti 11.

Üçgen yüklü sürekli kirişin eğilme momenti diyagramı: B ve C mesnetlerinde −33.12, orta açıklıkta 20.88 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Üçgen yüklü sürekli kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 6.48, B'nin sağında 36.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 6.48 kN
$V_{B}$: 65.52 kN
$V_{C}$: 65.52 kN
$V_{D}$: 6.48 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Üçgen yükte en büyük açıklık momenti açıklık ortasında oluşmaz. Yeri kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitten bulunur ve ikinci dereceden bir denklem gerektirir.
Üçgen yükte wL²/20 yükün büyük olduğu uca, wL²/30 küçük olduğu uca aittir. Bu iki değer karıştırılmamalıdır.
Mesnet tepkileri bulunduktan sonra düşey denge kontrol edilmelidir: 2 × (6.48 + 65.52) = 2 × 36 + 72.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.