Cross Yöntemi · Soru 4 / 5Tüm sorular

Cross Yöntemi Soru ÇözümüCross yöntemi çerçeve soru çözümü: T çerçeve

Soru. Şekildeki çerçevede B düğümünde üç çubuk birleşir. A ve C ankastre, D sabit mesnettir. A–B kolonu 4 m, B–C kolonu 3 m ve I, B–D kirişi 6 m ve 2I'dır. Kirişte 12 kN/m yayılı yük vardır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Cross yöntemiyle uç momentlerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

T çerçeve: A ve C ankastre, D sabit mesnet, 4 ve 3 metre kolonlar I, 6 metre kiriş 2I, kirişte 12 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: 6.08 kN
$M_{A}$: −8.10 kNm
$H_{C}$: −10.80 kN
$M_{C}$: −10.80 kNm
$H_{D}$: 4.73 kN
$V_{D}$: 29.70 kN
$V_{A} + V_{C}$: 42.30 kN

Çözüm

Çerçevede Cross (CCW +)

Dönebilen her düğümde (kolon + kirişler birlikte) $DF_{ij} = k_{ij}/\textstyle\sum k$ ile dağıtılır; taşıma $\times\tfrac12$ . Sistem yana ötelenmesiz kabul edilir ( $EA \approx \infty$ , ψ = 0).

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

1Ankastrelik (uç) momentleri ve uçların serbestleştirilmesi

Her çubuk iki ucu tutulu kabul edilerek ankastrelik momentleri hesaplanır. Tek çubuklu mafsallı mesnetlerde (ör. mafsallı kolon tabanı) moment sıfırdır; bu uçlar önceden serbest bırakılır:

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

M^{F'}_{\text{yakın}} = M^{F}_{\text{yakın}} - \tfrac{1}{2}\,M^{F}_{\text{uç}}

FEM tablosu, satır 8

BD çubuğu (L = 6.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{BD} = -36\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{DB} = 36\ \text{kNm}

\Rightarrow\ M^{F'}_{BD} = -54,\quad M_{DB} = 0

D mafsallı, baştan serbest bırakılır: −36 − 36/2 = −54. Bu yüzden D'ye sonradan taşıma yapılmaz.

2Dağıtma katsayıları (dönebilen düğümler)

Her dönebilen düğümde çubuk rijitlikleri $k = \tfrac{4EI}{L}$ (uzak uç serbestse $\tfrac{3EI}{L}$ , konsolda 0) toplanır:

DF_{ij} = \frac{k_{ij}}{\sum k}

B düğümü: $DF_{BA} = 0.300$ $DF_{BC} = 0.400$ $DF_{BD} = 0.300$

Rijitlikler: A–B 4EI/4 = 1, B–C 4EI/3 = 1.333, B–D 3(2EI)/6 = 1. Toplam 3.333, oranlar 0.3, 0.4, 0.3. Üç çubuğu da say.

3Moment dağıtma tablosu

Düğümler dengelenir (dengesizliğin tersi DF oranında dağıtılır), artıklar uzak uca $\times\tfrac12$ taşınır; yakınsayana dek tekrarlanır.

	A	B			C
	$M_{AB}$	$M_{BA}$	$M_{BC}$	$M_{BD}$	$M_{CB}$
DF	—	0.300	0.400	0.300	—
FEM	0	0	0	−54.00	0
1. Dağıtma		16.20	21.60	16.20
1. Taşıma	8.10				10.80
Σ (Son)	8.10	16.20	21.60	−37.80	10.80

Tek dönen düğüm B. +54 dağıtılır, yarısı kolonların ankastre ucuna taşınır: 8.1 ve 10.8. D'ye taşıma yok, tablo bir turda biter.

4Sonuç: M diyagramı ve doğrulama

M_{AB} = 8.10\ \text{kNm}

M_{BA} = 16.20\ \text{kNm}

M_{BC} = 21.60\ \text{kNm}

M_{BD} = -37.80\ \text{kNm}

M_{CB} = 10.80\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 2.3 × 10⁻⁶ kNm).

5Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler tablodan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

6Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Eksenel şekil değiştirme ihmal edildiği için, iki mesnet arasında doğru giden çubuk zincirinde eksenel kuvvetin mesnetlere paylaşımı uç momentlerinden çıkmaz. Sonuç tablosunda bu tepkilerin yalnız toplamı verildi; öbür tepkiler, M ve V diyagramları bundan etkilenmez.

V_D'yi elle bul: (12 × 6 × 3 − 37.8) / 6 = 29.7. Kalan 42.3 kN kolon zincirine iner; A ile C'nin payı momentlerden çıkmaz.

Cross yöntemiyle çözülen T çerçevenin eğilme momenti diyagramı: B düğümünde 16.20, 21.60 ve 37.80 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Cross yöntemiyle çözülen T çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: alt kolonda 6.08, üst kolonda 10.80, kirişin B ucunda 42.30 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: 6.08 kN
$M_{A}$: −8.10 kNm
$H_{C}$: −10.80 kN
$M_{C}$: −10.80 kNm
$H_{D}$: 4.73 kN
$V_{D}$: 29.70 kN
$V_{A} + V_{C}$: 42.30 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

B düğümünde iki kolon ve bir kiriş birleşir; rijitlik toplamına üçü de girer.
En büyük dağıtma katsayısı 0.4, rijitliği en büyük olan kısa üst kolona aittir. Katsayılar ters atansa da toplam 1 çıktığı için hata kolay görülmez.
Mafsallı uçta 3EI/L alındığında o uca ayrıca moment taşınmaz. Taşıma yapılacaksa rijitlik 4EI/L olarak alınmalıdır.

Aynı soru, başka yöntem

Açı yöntemi

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.