Cross Yöntemi · Soru 5 / 5Tüm sorular

Cross Yöntemi Soru ÇözümüCross yöntemi konsollu çerçeve

Soru. Şekildeki çerçevede A ankastre, C sabit mesnet, D serbest uçtur. A–B kolonu 4 m ve I, B–C kirişi 6 m ve 2I, C–D konsolu 2 m'dir. Kirişte 10 kN/m yayılı yük, D ucunda 20 kN tekil yük vardır. Eksenel şekil değiştirme ihmal edilecektir. Cross yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Konsollu çerçeve: A ankastre, C sabit mesnet, 4 metre kolon I, 6 metre kiriş 2I, 2 metre konsol; kirişte 10 kN/m yayılı yük, uçta 20 kN tekil yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: 4.69 kN
$V_{A}$: 25.42 kN
$M_{A}$: −6.25 kNm
$H_{C}$: −4.69 kN
$V_{C}$: 54.58 kN

Çözüm

Çerçevede Cross (CCW +)

Dönebilen her düğümde (kolon + kirişler birlikte) $DF_{ij} = k_{ij}/\textstyle\sum k$ ile dağıtılır; taşıma $\times\tfrac12$ . Sistem yana ötelenmesiz kabul edilir ( $EA \approx \infty$ , ψ = 0).

Konsol momentleri

Konsollar izostatiktir; bağlandığı düğüme bilinen bir kantilever momenti uygular ve dağıtıma katılmaz (rijitliği 0):

M^{konsol}_{C} = -40\ \text{kNm}

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

1Ankastrelik (uç) momentleri ve uçların serbestleştirilmesi

Her çubuk iki ucu tutulu kabul edilerek ankastrelik momentleri hesaplanır. Tek çubuklu mafsallı mesnetlerde (ör. mafsallı kolon tabanı) moment sıfırdır; bu uçlar önceden serbest bırakılır:

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

M^{F'}_{\text{yakın}} = M^{F}_{\text{yakın}} - \tfrac{1}{2}\,M^{F}_{\text{uç}}

FEM tablosu, satır 8

BC çubuğu (L = 6.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{BC} = -30\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 30\ \text{kNm}

Konsol momenti statikten bilinir: 20 × 2 = 40. Dağıtıma bilinmeyen olarak girmez, C'nin dengesine hazır değer olarak girer.

2Dağıtma katsayıları (dönebilen düğümler)

Her dönebilen düğümde çubuk rijitlikleri $k = \tfrac{4EI}{L}$ (uzak uç serbestse $\tfrac{3EI}{L}$ , konsolda 0) toplanır:

DF_{ij} = \frac{k_{ij}}{\sum k}

B düğümü: $DF_{BA} = 0.429$ $DF_{BC} = 0.571$

C düğümü: $DF_{CB} = 1.000$

Burada C–B tutulu başlıyor: k = 4(2EI)/6 = 1.333, A–B 4EI/4 = 1. B'de 0.429 ve 0.571. C'de tek çubuk dağıtır, katsayı 1.

3Moment dağıtma tablosu

Düğümler dengelenir (dengesizliğin tersi DF oranında dağıtılır), artıklar uzak uca $\times\tfrac12$ taşınır; yakınsayana dek tekrarlanır.

	A	B		C
	$M_{AB}$	$M_{BA}$	$M_{BC}$	$M_{CB}$
DF	—	0.429	0.571	1.000
FEM	0	0	−30.00	30.00
1. Dağıtma		12.86	17.14	10.00
1. Taşıma	6.43		5.00	8.57
2. Dağıtma		−2.14	−2.86	−8.57
2. Taşıma	−1.07		−4.29	−1.43
3. Dağıtma		1.84	2.45	1.43
3. Taşıma	0.92		0.71	1.22
4. Dağıtma		−0.31	−0.41	−1.22
4. Taşıma	−0.15		−0.61	−0.20
5. Dağıtma		0.26	0.35	0.20
5. Taşıma	0.13		0.10	0.17
6. Dağıtma		−0.04	−0.06	−0.17
6. Taşıma	−0.02		−0.09	−0.03
7. Dağıtma		0.04	0.05	0.03
7. Taşıma	0.02		0.01	0.02
8. Dağıtma		−0.01	−0.01	−0.02
8. Taşıma			−0.01
9. Dağıtma		0.01	0.01
Σ (Son)	6.25	12.50	−12.50	40.00

C serbest olduğu için her turda B'ye taşıma yapar, tablo uzar. Kısa yol: C'yi baştan serbest bırak, FEM −30 + 5 = −25 ve 3EI/L ile B'de 0.5, 0.5. Tek turda +12.5, sonuç aynı.

4Sonuç: M diyagramı ve doğrulama

M_{AB} = 6.25\ \text{kNm}

M_{BA} = 12.50\ \text{kNm}

M_{BC} = -12.50\ \text{kNm}

M_{CB} = 40\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar, yöntemin kendi referansı olan eksenel-rijit (EA≈∞) matris çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 1.6 × 10⁻⁶ kNm).

5Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler tablodan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

6Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	H (kN)	V (kN)	M (kNm)
A	4.69	25.42	-6.25
C	-4.69	54.58	0

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy80.00 (tepkiler) − 80.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀340.00 (tepkiler) − 340.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

$V_C$ 'yi elle sağla: (10 × 6 × 3 − 12.5 + 40) / 6 + 20 = 54.58. Toplam: 25.42 + 54.58 = 60 + 20.

Konsollu çerçevenin eğilme momenti diyagramı: A'da 6.25, B'de 12.50, C'de 40.00 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Konsollu çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: kolonda 4.69, kiriş B ucunda 25.42, konsolda 20.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: 4.69 kN
$V_{A}$: 25.42 kN
$M_{A}$: −6.25 kNm
$H_{C}$: −4.69 kN
$V_{C}$: 54.58 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Konsolun rijitliği sıfırdır ve dağıtmaya katılmaz. Konsol momenti statikten bulunur.
Mafsallı uçta 3EI/L alındığında o uca taşıma yapılmaz. Bu tabloda 4EI/L kullanıldığı için C ucuna taşıma yapılmıştır.
C mafsallı mesnet olduğu halde kiriş ucundaki moment sıfır olmaz, çünkü konsol bu uca 40 kNm uygular.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.