Cross Yöntemi · Soru 1 / 5Tüm sorular

Cross Yöntemi Soru ÇözümüCross yöntemi üç açıklıklı kiriş, farklı atalet

Soru. Şekildeki üç açıklıklı kirişin A ve D uçları ankastre, B ve C hareketli mesnettir. Açıklıklar 5, 6 ve 4 m; atalet momentleri I, 2I ve I'dır. İlk açıklıkta 12 kN/m yayılı yük, son açıklığın ortasında 60 kN tekil yük vardır. Cross yöntemiyle uç momentlerini ve mesnet tepkilerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

5, 6 ve 4 metre açıklıklı kiriş: A ve D ankastre, B ve C hareketli mesnet, orta açıklık 2I; ilk açıklıkta 12 kN/m yayılı yük, son açıklık ortasında 60 kN tekil yük — Şekil 1. Kiriş, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$V_{A}$: 34.15 kN
$M_{A}$: 31.91 kNm
$V_{B}$: 25.68 kN
$V_{C}$: 23.50 kN
$V_{D}$: 36.67 kN
$M_{D}$: −38.90 kNm

Çözüm

FEM tablosu — ankastrelik uç momentleri

#	Yükleme	$M^F_i$	$M^F_j$
1	Düzgün yayılı (tam boy) w, tüm açıklıkta	$-\dfrac{wL^2}{12}$	$+\dfrac{wL^2}{12}$
2	Tekil yük (ortada) P, x = L/2	$-\dfrac{PL}{8}$	$+\dfrac{PL}{8}$
3	Tekil yük (genel) P; i ucuna a, j ucuna b	$-\dfrac{P\,a\,b^2}{L^2}$	$+\dfrac{P\,a^2 b}{L^2}$
4	Üçgen yayılı (0 → w) i ucunda 0, j ucunda w	$-\dfrac{wL^2}{30}$	$+\dfrac{wL^2}{20}$
5	Kısmi düzgün yayılı w, x = a … b arasında	$-w\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3L}+\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$	$+w\Big[\tfrac{x^3}{3L}-\tfrac{x^4}{4L^2}\Big]_a^b$
6	Tekil moment M₀ (CCW+), i ucuna a	$M_0\big(1-4\xi+3\xi^2\big)$	$M_0\big(3\xi^2-2\xi\big)$
7	Kord dönmesi (çökme) ψ = (Δⱼ − Δᵢ)/L	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$	$-\dfrac{6EI}{L}\psi$
8	Uç serbest bırakma (mafsallı uç) j ucu mafsal olursa	$M^{F'}_{i} = M^F_i - \tfrac{1}{2}M^F_j$	$M_{j} = 0$

İki ucu tutulu çubuk için, uç momentleri CCW (+). Mafsallı uçta satır 8 uygulanır. Değerler motorun tutarlı yük integraline birebir kilitlidir.

1Ankastrelik (uç) momentleri ve uçların serbestleştirilmesi

Her açıklık iki ucu tutulu kabul edilerek ankastrelik momentleri hesaplanır. Dış (uç) basit mesnetlerde moment sıfır olmalıdır; bu uçlar önceden serbest bırakılır ve momenti komşu uca taşınır:

Kilitli sistem — yüklü çubuk uçlarındaki ankastrelik momentleri (kNm)

$M^{F'}_{\text{yakın}} = M^{F}_{\text{yakın}} - \tfrac{1}{2}\,M^{F}_{\text{uç}}$ FEM tablosu, satır 8

AB çubuğu (L = 5.00 m): FEM tablosu, satır 1

M^{F}_{AB} = -25\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{BA} = 25\ \text{kNm}

BC çubuğu (L = 6.00 m):

M^{F}_{BC} = 0\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{CB} = 0\ \text{kNm}

CD çubuğu (L = 4.00 m): FEM tablosu, satır 2

M^{F}_{CD} = -30\ \text{kNm},\qquad M^{F}_{DC} = 30\ \text{kNm}

Yayılı yükte wL²/12 = 12 × 25 / 12 = 25. Tekil yükte PL/8 = 60 × 4 / 8 = 30. Orta açıklık yüksüz, FEM'i sıfır.

2Dağıtma katsayıları (iç düğümler)

Her iç düğümde çubuk rijitlikleri $k = \tfrac{4EI}{L}$ (uzak uç serbestse $\tfrac{3EI}{L}$ ) bulunur ve dağıtma katsayısı:

DF_{ij} = \frac{k_{ij}}{\sum k}

B düğümü: $DF_{BA} = 0.375$ $DF_{BC} = 0.625$

C düğümü: $DF_{CB} = 0.571$ $DF_{CD} = 0.429$

2I'yı rijitliğe kat: B'de 4EI/5 = 0.8 ve 4(2EI)/6 = 1.333, oran 0.375 ve 0.625. C'de 1.333 ve 1, oran 0.571 ve 0.429.

3Moment dağıtma tablosu

Düğümler dengelenir (dengesizliğin tersi katsayılar oranında dağıtılır), artıklar uzak uca $\times\tfrac12$ taşınır; işlem yakınsayana dek tekrarlanır.

	A	B		C		D
	$M_{AB}$	$M_{BA}$	$M_{BC}$	$M_{CB}$	$M_{CD}$	$M_{DC}$
DF	—	0.375	0.625	0.571	0.429	—
FEM	−25.00	25.00	0	0	−30.00	30.00
1. Dağıtma		−9.38	−15.63	17.14	12.86
1. Taşıma	−4.69		8.57	−7.81		6.43
2. Dağıtma		−3.21	−5.36	4.46	3.35
2. Taşıma	−1.61		2.23	−2.68		1.67
3. Dağıtma		−0.84	−1.40	1.53	1.15
3. Taşıma	−0.42		0.77	−0.70		0.57
4. Dağıtma		−0.29	−0.48	0.40	0.30
4. Taşıma	−0.14		0.20	−0.24		0.15
5. Dağıtma		−0.07	−0.12	0.14	0.10
5. Taşıma	−0.04		0.07	−0.06		0.05
6. Dağıtma		−0.03	−0.04	0.04	0.03
6. Taşıma	−0.01		0.02	−0.02		0.01
7. Dağıtma		−0.01	−0.01	0.01	0.01
7. Taşıma			0.01	−0.01
Σ (Son)	−31.91	11.18	−11.18	12.21	−12.21	38.90

A ve D ankastre: dağıtmazlar, yalnız kendilerine taşınanı toplarlar. Dengeleme yalnız B ve C'de, sırayla.

4Sonuç ve doğrulama

M_{AB} = -31.91\ \text{kNm}

M_{BA} = 11.18\ \text{kNm}

M_{BC} = -11.18\ \text{kNm}

M_{CB} = 12.21\ \text{kNm}

M_{CD} = -12.21\ \text{kNm}

M_{DC} = 38.90\ \text{kNm}

✓ Sonuçlar matris (direct stiffness) çözümüyle birebir uyumlu (maksimum fark 8.0 × 10⁻⁷ kNm).

5Eleman denge kontrolü (serbest cisimler)

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler yukarıdan, uç kesmeler çubuk dengesinden ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm) — her kutu kendi içinde dengededir.

6Mesnet tepkileri ve denge sağlaması

Denge sağlaması — yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Mesnet	V (kN)	M (kNm)
A	34.15	31.91
B	25.68	0
C	23.50	0
D	36.67	-38.90

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy120.00 (tepkiler) − 120.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀930.00 (tepkiler) − 930.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Tepkiler uç momentlerinden çıkar. $V_A$ : (12 × 5 × 2.5 + 31.91 − 11.18) / 5 = 34.15. Toplam: 34.15 + 25.68 + 23.50 + 36.67 = 60 + 60.

Üç açıklıklı kirişin eğilme momenti diyagramı: A'da −31.91, B'de −11.18, C'de −12.21, D'de −38.90 kNm — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Üç açıklıklı kirişin kesme kuvveti diyagramı: A'da 34.15, orta açıklıkta −0.17 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$V_{A}$: 34.15 kN
$M_{A}$: 31.91 kNm
$V_{B}$: 25.68 kN
$V_{C}$: 23.50 kN
$V_{D}$: 36.67 kN
$M_{D}$: −38.90 kNm

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

Dağıtma katsayıları çubuklara yanlış atansa bile düğüm toplamı 1 çıktığı için hata kolay fark edilmez. Büyük katsayı, rijitliği büyük olan çubuğa aittir.
Orta açıklığın 2I olması rijitlik hesabına katılmalıdır: k = 4(2EI)/6.
Ankastre uçlarda dağıtma yapılmaz; A ve D yalnız taşınan momentleri alır.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.