Kesit Tesirleri · Soru 3 / 3Tüm sorular

Kesit Tesirleri Soru ÇözümüÜç mafsallı çerçeve soru çözümü

Soru. Şekildeki portal çerçevede A ve E sabit mesnet, C kiriş ortasında mafsaldır. Kolonlar 5 m, açıklık 8 m'dir. Kirişin tamamında 6 kN/m yayılı yük vardır. Mesnet tepkilerini ve mafsal kuvvetlerini bulun, M ve V diyagramlarını çizin.

Üç mafsallı portal çerçeve: A ve E sabit mesnet, kiriş ortasında C mafsalı, 5 metre kolonlar, 8 metre açıklık, kirişte 6 kN/m yayılı yük — Şekil 1. Çerçeve, yükler ve ölçüler.

Çözüme bakmadan kendin dene. Sonuçları göster

$H_{A}$: 9.60 kN
$V_{A}$: 24.00 kN
$H_{E}$: −9.60 kN
$V_{E}$: 24.00 kN

Çözüm

İzostatik sistemde denge denklemleri tek başına yeter — aşağıdaki yürüyüş, elle çözümün adım sırasıdır (üç mafsallı sistem: mafsal koşulu dördüncü denklemi verir).

1Parçalara ayırma ve sayım

Sistem mafsallardan 2 parçaya ayrılır: Sol parça (A–B–C), Sağ parça (C–D–E). 4 tepki + 2 mafsal bileşeni = 6 bilinmeyen; 2 parça × 3 denge = 6 denklem.

Dört tepki var, üç genel denge yetmez. Dördüncü denklemi C'deki mafsal verir: orada M = 0.

2ΣM_A = 0 → V_E

Tüm sistemde A etrafında moment: karşı mesnedin düşey tepkisi bulunur.

\Sigma M_{A} = 0:\quad 8\,V_{E} - 24 \cdot 2 - 24 \cdot 6 = 0 \;\Rightarrow\; V_{E} = 24\ \text{kN}

3ΣF_y = 0 → V_A

Tüm sistemde düşey denge: öbür düşey tepki.

\Sigma F_y = 0:\quad V_{A} + 24 - 24 - 24 = 0 \;\Rightarrow\; V_{A} = 24\ \text{kN}

4ΣM_C = 0 → H_E

C mafsalında moment sıfırdır — Sağ parça (C–D–E) için C etrafında moment yazınca itki (yatay tepki) tek başına çıkar. Düşey yükte bile yatay itki doğar: üç mafsallının kilit fikri.

\Sigma M_{C} = 0:\quad 5\,H_{E} + 96 - 24 \cdot 2 = 0 \;\Rightarrow\; H_{E} = -9.60\ \text{kN}

Yalnız sağ parçayı al, C etrafında moment yaz: V_E × 4 − 24 × 2 yatay itkinin kolu 5 ile dengelenir: 48 / 5 = 9.6.

5ΣF_x = 0 → H_A

Tüm sistemde yatay denge: kalan yatay tepki.

\Sigma F_x = 0:\quad H_{A} - 9.60 = 0 \;\Rightarrow\; H_{A} = 9.60\ \text{kN}

6ΣF_x = 0 → C_x

Sağ parça (C–D–E) dengesinden.

\Sigma F_x = 0:\quad - 9.60 - C_x = 0 \;\Rightarrow\; C_x = -9.60\ \text{kN}

7ΣF_y = 0 → C_y

Sağ parça (C–D–E) dengesinden.

\Sigma F_y = 0:\quad 24 - C_y - 24 = 0 \;\Rightarrow\; C_y = 0\ \text{kN}

8Mafsal kuvvetleri (etki–tepki)

Mafsal, iki parça arasında yalnız kuvvet aktarır (moment aktarmaz). Bir parçaya etkiyen kuvvet, karşı parçaya ters işaretle biner (işaretler genel eksenlere göredir: x sağa +, y yukarı +):

Mafsal	Etkidiği parça	Fx (kN)	Fy (kN)
C	Sol parça (A–B–C)	-9.60	0

9Serbest cisimler ve M krokisi

Her çubuk ayrı kesilir: uç momentler ve kesmeler, tepkilerden başlayarak dengeyle bulunur ( $\sum M = 0,\ \sum F = 0$ ). Yaylar ve oklar çubuğa etkiyen uç momentler ve kuvvetlerdir (kN, kNm); her kutu kendi içinde dengededir.

Yükler ve mesnet tepkileri bir arada

Köşe momentini elle bul: 9.6 × 5 = 48. Kirişte mafsalda sıfır: 24 × 4 − 6 × 4 × 2 − 48 = 0.

10Sağlama

Denge sağlaması (orijine göre):

ΣFx0.00 (tepkiler) + 0.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣFy48.00 (tepkiler) − 48.00 (yükler) = 0.00 kN ✓

ΣM₀192.00 (tepkiler) − 192.00 (yükler) = 0.00 kNm ✓

Denge çözümü, matris (direct stiffness) tepkileriyle birebir örtüşüyor (en büyük bağıl fark 5.9 × 10⁻¹⁶).

Üç mafsallı portal çerçevenin eğilme momenti diyagramı: köşelerde 48.00 kNm, mafsalda sıfır — Şekil 2. Eğilme momenti (kNm), çekme tarafına çizildi.

Üç mafsallı portal çerçevenin kesme kuvveti diyagramı: kolonlarda 9.60, kirişin köşe ucunda 24.00 kN — Şekil 3. Kesme kuvveti (kN).

Sonuç

$H_{A}$: 9.60 kN
$V_{A}$: 24.00 kN
$H_{E}$: −9.60 kN
$V_{E}$: 24.00 kN

Bağımsız matris çözümüyle aynı.

Sık yapılan hatalar

M = 0 koşulu bütün sisteme değil, mafsalın bir yanındaki parçaya yazılır.
Üç mafsallı sistemlerde düşey yük altında da yatay tepki (itki) oluşur.
Mafsal moment taşımaz; diyagram bu noktada sıfırdan geçer.

Kendi sistemini YapSat'ta çöz

Bu sayfadaki çözüm adımlarını YapSat, çizdiğin sistemler için de yazar. Kiriş ve çerçeveleri Cross, Açı, Kuvvet ve Matris yöntemleriyle adım adım çözer; kafes ve kemer sistemlerini, tesir çizgilerini ve yer değiştirmeleri de hesaplar. Bu soruyu açıp yükleri, açıklıkları ve mesnetleri değiştirerek sonucun nasıl değiştiğini görebilirsin. Ücretsizdir, üyelik gerektirmez.

Bu soruyu uygulamada açUygulama bilgisayarda ve tablette açılıyor.